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2025年吉林（专升本）高数一练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=e^x2x在x=0处的切线方程为y=kx+b，则k和b的值分别为（）

A.k=1，b=1

B.k=2，b=1

C.k=1，b=0

D.k=2，b=0

答案：C

解析：f(x)=e^x2，f(0)=e^02=12=1，即切线斜率k=1。f(0)=e^020=1，所以切点为(0,1)。切线方程为y1=1(x0)，即y=x+1，所以b=1。

2.函数y=x^33x+1的极值点为（）

A.x=0

B.x=1

C.x=1

D.x=2

答案：B

解析：y=3x^23，令y=0，得x=±1。y=6x，当x=1时，y=60，所以x=1为极小值点。

3.下列积分中收敛的是（）

A.∫(0to+∞)1/xdx

B.∫(∞to0)1/xdx

C.∫(0to+∞)x/e^xdx

D.∫(∞to0)x/e^xdx

答案：C

解析：对于C选项，令u=x，dv=e^(x)dx，du=dx，v=e^(x)，根据分部积分公式得∫(0to+∞)x/e^xdx=x/e^x|_0^∞+∫(0to+∞)e^(x)dx=0+1=1，所以收敛。

4.定积分∫(0toπ)sin(x)dx等于（）

A.2

B.0

C.π

D.π

答案：B

解析：sin(x)在区间[0,π]上关于x=π/2对称，所以∫(0toπ)sin(x)dx=0。

5.二重积分∫(D)(x^2+y^2)dxdy，其中D为圆x^2+y^2≤4，等价于（）

A.∫(0to2π)∫(0to2)r^3drdθ

B.∫(0to2π)∫(0to1)r^3drdθ

C.∫(0toπ)∫(0to2)r^3drdθ

D.∫(0toπ)∫(0to1)r^3drdθ

答案：A

解析：将D转化为极坐标系，得r^2≤4，即r≤2。所以二重积分变为∫(0to2π)∫(0to2)r^3drdθ。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+2，求f(x)=_______

答案：3x^26x

2.定积分∫(0toπ/2)cos(x)dx=_______

答案：1

3.函数y=x^22x+1在区间[0,2]上的最大值为_______，最小值为_______

答案：3，0

4.设函数f(x)=2x+3，求f(5)=_______

答案：13

5.定积分∫(0to1)xdx的几何意义是_______

答案：x轴上从0到1的区间下方的面积

三、解答题（每题10分，共30分）

1.求极限lim(x→0)(sin(x)/x)

答案：1

解析：当x→0时，sin(x)与x的比值趋近于1，所以lim(x→0)(sin(x)/x)=1。

2.求函数y=x^22x+1的拐点。

答案：拐点为(1,0)

解析：y=2，恒大于0，所以y=x^22x+1为凸函数。y=2x2，令y=0，得x=1，所以拐点为(1,0)。

3.计算二重积分∫(D)(x^2+y^2)dxdy，其中D为圆x^2+y^2≤4。

答案：8π

解析：将D转化为极坐标系，得r^2≤4，即r≤2。所以二重积分变为∫(0to2π)∫(0to2)r^3drdθ=8π。