2025年学历类自考公共课数论初步-物理（工）参考题库含答案解析(5套版).docxVIP

2025年学历类自考公共课数论初步-物理（工）参考题库含答案解析(5套版)

2025年学历类自考公共课数论初步-物理（工）参考题库含答案解析(篇1)

【题干1】设a、b为互质的正整数，若a2≡1modb，则b的因数中奇数的个数与偶数的个数之比为（）

【选项】A.1:1B.2:1C.1:2D.0:1

【参考答案】B

【详细解析】当a2≡1modb时，b的每个素因子p满足p≡1mod4或p=2。若b含奇素因子，每个奇素因子p的因数中奇偶数比为1:2，结合2的幂次情况可得总比值为2:1。

【题干2】利用中国剩余定理解方程组x≡3mod7，x≡5mod11，则x≡______mod77

【选项】A.12B.38C.59D.75

【参考答案】B

【详细解析】设x=7k+3，代入第二个方程得7k≡2mod11，解得k≡8mod11，故x=7×8+3=59，但59mod77即59，需检查选项是否存在矛盾。实际正确解为59，但选项中无此结果，可能题目存在疏漏，需重新审视。

【题干3】已知素数p3，若p≡1mod4，则二次剩余-1的个数为（）

【选项】A.1B.(p-1)/2C.2D.0

【参考答案】B

【详细解析】根据欧拉判别法，-1是二次剩余当且仅当p≡1mod4，此时存在(p-1)/2个解，故选B。

【题干4】设m=15，求与15互质的正整数个数及其中能表示为2^x+1形式的数个数之比（）

【选项】A.4:1B.8:3C.2:1D.5:2

【参考答案】B

【详细解析】φ(15)=φ(3×5)=8，能表示为2^x+1的数需满足2^x≡-1mod15。因2^4≡1mod15，故x需满足x≡2mod4，在1-8中符合条件的x为2、6，对应数为5、65，但6515，故仅5一个，正确比应为8:1，可能题目存在错误。

【题干5】若a≡bmodm且gcd(a,b,m)=1，则m的最小值可能为（）

【选项】A.2B.3C.4D.5

【参考答案】C

【详细解析】取a=1,b=3,m=4，此时gcd(1,3,4)=1，且1≡3mod4不成立，需重新构造例子。正确条件应为存在a≡bmodm且gcd(a,b,m)=1，如a=1,b=5,m=4，此时1≡5mod4成立且gcd(1,5,4)=1，故m最小为4。

【题干6】设p为奇素数，方程x2≡-3modp有解的充要条件是（）

【选项】A.p≡1mod6B.p≡5mod6C.p≡0mod3D.p≡1mod3

【参考答案】A

【详细解析】根据二次互反律，-3是二次剩余当且仅当(-3/p)=1，即(p/3)=(-1)^{(p-1)/2}。当p≡1mod3时，若p≡1mod4则(p/3)=1，若p≡3mod4则(p/3)=-1，需综合判断。实际充要条件为p≡1mod6，故选A。

【题干7】若整数a在模m下有逆元，则其逆元在模m下的解数为（）

【选项】A.1B.φ(m)C.gcd(a,m)D.φ(gcd(a,m))

【参考答案】A

【详细解析】当gcd(a,m)=1时，逆元唯一，因设a?1a≡1modm，若存在两个逆元b,c，则a(b-c)≡0modm，因gcd(a,m)=1得b≡cmodm，故唯一。

【题干8】设素数p=4k+3，方程x2≡amodp有解的必要条件是（）

【选项】A.a^(2k+1)≡1modpB.a^(2k+1)≡-1modpC.a^(2k)≡1modpD.a^(2k)≡-1modp

【参考答案】B

【详细解析】费马小定理得a^(4k+2)≡1modp，若x2≡a有解，则a^(2k+1)≡±1modp。因p=4k+3，则a^(2k+1)=a^{(p-1)/2}≡(a/p)modp，当(a/p)=-1时无解，故必要条件为a^(2k+1)≡-1modp，即B。

【题干9】设a、b为互质正整数，方程ax+by=1在整数解中，x的最小正整数值为（）

【选项】A.b/gcd(a,b)B.(b-1)/aC.b^{-1}modaD.(b^{-1}moda)

【参考答案】C

【详细解析】由贝祖定理，存在整数解(x,y)，其中x≡b^{-1}moda，故最小正整数值为b^{-1}moda，即C。

【题干10】设m=21，求φ(m)及其中与m互质的奇数解x满足x2≡1mod21的个数之比（）

【选项】A.12:4B.1