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数学专家面试题(某大型集团公司)精练试题解析

面试问答题（共20题）

第一题

假设我们在设计一个算法，需要根据一组用户的年龄数据，来确定是否需要为某个年龄段（例如18-25岁）的用户推送特定的营销信息。请你提出一种方法，利用这组年龄数据（假设数据已按年龄从小到大排序好），以至少80%的置信度，确定是否存在一个年龄阈值T，使得大于T年龄的用户中，至少有60%的人不属于目标营销年龄段（即年龄25岁）。

请简述你的方法步骤，并说明该方法如何保证达到上述置信度要求。无需进行实际的计算，只需阐述思路。

答案：

方法步骤：

明确要求：我们需要找到一个年龄阈值T，使得从T点开始的所有用户中，满足“年龄25岁”的用户比例≥60%。

数据准备：给定已按年龄从小到大排序的用户年龄列表sorted_ages。

定义关键点：设列表中的用户数量为N。我们需要找到索引k（对应年龄sorted_ages[k]），使得：

从索引k到N-1的所有用户（即年龄=sorted_ages[k]的用户）中，至少有60%的年龄值大于25。

换句话说，这要求索引N-k（即年龄25的用户数量，因为列表是排序的）ph?i大于或等于总用户数的60%。

遍历查找：遍历排序后的年龄列表sorted_ages，从前往后（或者从后往前）检查。对于每一个年龄值agecurrent：

计算count_above_25=N-current_index-1（即当前年龄及其之后的所有用户的数量）。这部分用户的年龄都=agecurrent。

计算p25atcurrent=count_above_25/N（这部分用户中年龄确实25的比例，因为=agecurrent的必然包含所有25的）。

核心判断：检查是否p25atcurrent=0.60。

确定阈值：

如果找到了一个索引current_index_i，满足上述条件p25atcurrent_index_i=0.60。那么，将这个索引对应的年龄sorted_ages[current_index_i]作为阈值T。

证明满足80%置信度：如果遍历的某个点（对应age=X）使得其之后（25）的用户比例已经达到了60%，那么任何比X更小的阈值T都必然不会满足“之后至少60%大于25”的条件（因为X已经是满足条件的最低点）。因此，我们将找到的第一个满足条件的sorted_ages[current_index_i]定义为T，这个T就具备了至少80%（实际上，是100%）满足后续用户中至少60%年龄大于25岁的可能性（或者说，任何低于这个T的阈值都无法保证满足条件）。我们可以说，我们以至少80%的置信度找到了那个使得“年龄=T”的用户中，“年龄25”比例≥60%的最小年龄阈值T。

解析：

核心思想：利用顺序统计（排好序的列表）来快速判断一个阈值点是否能满足特定比例分布的要求。因为列表是排序的，所以对于任意阈值点，其之后的用户（年龄更大或相同）构成一个连续区间。

置信度来源：该方法通过定义合适的阈值T，即第一个使得“年龄=T”的用户中，至少有60%年龄“25”的T，来满足置信度要求。一旦找到这样的T，就保证了所有大于T的年龄点（即年龄=sorted_ages[k]的点）必然满足条件。不存在遗漏，除非问题本身在数据层面无法满足。可以说，我们找到了满足条件的最小T，因此找到这个T的概率非常高（接近100%，可以理解为至少80%）。这里80%的置信度是基于“找到的最小满足条件的T就确实满足条件”这一逻辑的稳健性。

效率优势：该方法只需要进行一次遍历，时间复杂度为O(N)，相比计算百分比或使用抽样/估计的方法效率更高。

适用性：适用于已排序的用户年龄列表。如果列表未排序，则需要先进行排序，增加O(NlogN)复杂度。

第二题

某公司计划投资一个新项目，预计寿命为5年。初始投资为100万元，每年年末可获净收益20万元，第五年年末收回残值10万元。假设贴现率为10%，请问该项目的净现值（NPV）是多少？是否应该投资此项目？

答案：

NPV=-100+20PVIFA(10%,5)+10PVIF(10%,5)

其中：PVIFA(10%,5)为年金现值系数（P/A,10%,5），PVIF(10%,5)为复利现值系数（P/F,10%,5）。

查表或计算可得：PVIFA(10%,5)=3.7908，PVIF(10%,5)=0.6209。

因此：

NPV=-100+20×3.7908+10×0.6209=-100+