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高中新课标三角函数知识点总结

三角函数作为高中数学的核心内容之一，不仅是解决几何问题的有力工具，也是后续学习高等数学、物理等学科的重要基础。其概念的形成、公式的推导以及性质的应用，都蕴含着丰富的数学思想方法。本文将依据高中新课标要求，对三角函数的核心知识点进行系统梳理与阐释，力求帮助同学们构建清晰的知识网络，提升运用三角知识解决实际问题的能力。

一、任意角与弧度制

1.1角的概念的扩充

在初中阶段“静止”角定义的基础上，高中阶段引入了“动态”的角的概念：一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。其中，按逆时针方向旋转形成的角称为正角，按顺时针方向旋转形成的角称为负角，若射线未作旋转，则称为零角。

1.2象限角与终边相同的角

为了更精确地描述角的位置，我们将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合。此时，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。若终边落在坐标轴上，则此角不属于任何象限，称为轴线角。

所有与角α终边相同的角（包括α本身），可构成一个集合：\(S=\{\beta|\beta=\alpha+k\cdot360^\circ,k\in\mathbb{Z}\}\)。这一概念的理解，有助于我们将研究范围从一个周期内的角拓展到任意角。

1.3弧度制

为了实现角度与长度单位的统一，引入弧度制。把长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，用符号rad表示。弧度制与角度制的换算关系是：\(180^\circ=\pi\,\text{rad}\)，因此\(1^\circ=\frac{\pi}{180}\,\text{rad}\)，\(1\,\text{rad}=\left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ\approx57.30^\circ\)。

采用弧度制后，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系，这为三角函数作为函数来研究奠定了基础。

1.4扇形的弧长与面积公式

在弧度制下，若扇形的半径为r，圆心角为\(\alpha\,\text{rad}\)（\(\alpha0\)），则扇形的弧长公式为\(l=|\alpha|r\)，面积公式为\(S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}|\alpha|r^2\)。这些公式在解决与圆相关的几何问题时非常实用。

二、三角函数的定义与同角三角函数基本关系

2.1任意角的三角函数定义

设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点重合）的坐标为(x,y)，点P到原点的距离为\(r=\sqrt{x^2+y^2}0\)。则：

正弦函数：\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)

余弦函数：\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)

正切函数：\(\tan\alpha=\frac{y}{x}\,(x\neq0)\)

三角函数值的大小仅与角α的终边位置有关，而与点P在终边上的位置无关。这一定义是研究三角函数各种性质的出发点。

2.2三角函数值在各象限的符号

根据三角函数的定义及各象限内点的坐标符号特征，可确定正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号：

正弦函数（sinα）：在第一、二象限为正，在第三、四象限为负。

余弦函数（cosα）：在第一、四象限为正，在第二、三象限为负。

正切函数（tanα）：在第一、三象限为正，在第二、四象限为负。

可概括为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的口诀辅助记忆。

2.3特殊角的三角函数值

对于一些常见的特殊角（如30°、45°、60°及其终边在坐标轴上的角），其三角函数值需要熟练记忆，这是进行三角运算和解决三角问题的基础。

2.4同角三角函数的基本关系

由三角函数的定义可直接推导出同角三角函数间的两个基本关系：

1.平方关系：\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

2.商数关系：\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\,(\cos\alpha\neq0)\)

这些基本关系主要用于：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值；以及进行三角函数式的化简、求值与证明。在应用平方关系开方时，需注意根据角所在的象限确定符号。

三、三角函数的图像与性质

3.1三角函数的图像

正弦函数\(y=\sinx\)、余弦函数\(y=\cosx\)的图像是“波浪形”的连续曲线，分别称为正弦曲线和余弦曲线。它们都具有周期性，是周期函数。正