数学分析试题及答案.docx

数学分析试题

一、选择题（每题5分，共20分）

下列数列中，极限为0的是（）

A.a_n=\frac{n}{n+1}B.a_n=\frac{1}{n^2}C.a_n=2^nD.a_n=\sinn

函数f(x)=\frac{1}{x-1}在下列哪个区间上连续（）

A.[0,1]B.[1,2]C.[0,2]D.[2,3]

若函数f(x)=x^3-3x+1，则其导数f(x)=（）

A.3x^2-3B.3x^2+3C.x^4-\frac{3}{2}x^2+xD.2x^2-3

定积分\int_{0}^{1}x^2dx=（）

A.\frac{1}{3}B.\frac{1}{2}C.1D.2

二、填空题（每题5分，共20分）

\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=______

函数f(x)=|x-2|的间断点为______

曲线y=x^2-2x+3在点(1,2)处的切线斜率为______

不定积分\int\cosxdx=______

三、解答题（每题10分，共40分）

计算\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}

讨论函数f(x)=\begin{cases}

x+1,x\leq0\\

x^2,x0

\end{cases}在x=0处的连续性

求函数f(x)=x^2e^x的导数

计算定积分\int_{0}^{\pi}\sinxdx

四、证明题（20分）

证明：当x0时，e^x1+x

数学分析试题答案

一、选择题

答案：B

解析：A选项\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1；B选项\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0；C选项\lim_{n\to\infty}2^n=+\infty；D选项\sinn的值在[-1,1]之间波动，极限不存在。

答案：D

解析：函数f(x)=\frac{1}{x-1}的定义域为x\neq1，在区间[2,3]上，所有点都满足定义域要求，且函数为初等函数，故连续。

答案：A

解析：根据求导公式(x^n)=nx^{n-1}，常数的导数为0，可得f(x)=3x^2-3。

答案：A

解析：由定积分基本公式\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C（n\neq-1），则\int_{0}^{1}x^2dx=\left.\frac{1}{3}x^3\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}。

二、填空题

答案：1

解析：这是重要极限之一，\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1。

答案：无间断点

解析：当x\geq2时，f(x)=x-2，为一次函数，连续；当x2时，f(x)=2-x，也为一次函数，连续。且\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^-}f(x)=f(2)=0，故函数在全体实数上连续，无间断点。

答案：0

解析：先求导y=2x-2，将点(1,2)的横坐标代入导数，得y|_{x=1}=2\times1-2=0，即切线斜率为0。

答案：\sinx+C（C为常数）

解析：根据不定积分基本公式，(\sinx)=\cosx，故\int\cosxdx=\sinx+C。

三、解答题

解：

\begin{align*}

\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}\\

=\lim_{x\to1}(x+1)\quad(\text{???}\x\to1\??????x\neq1?????ˉ?o|???}\x-1)\\

=1+1=2

\end{align*}

解：

首先计算f(0)：当x=0