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数列基础测试题及答案

一、选择题（每题5分，共15分）

已知等差数列\{a_n\}中，a_3=5，a_7=13，则该数列的公差d与首项a_1分别为（）

A.d=2，a_1=1B.d=3，a_1=0C.d=2，a_1=2D.d=3，a_1=1

等比数列\{a_n\}的前n项和为S_n，若S_2=3，S_4=15，则S_6的值为（）

A.31B.45C.63D.75

数列\{a_n\}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+3（n\in\mathbb{N}^*），则数列\{a_n\}的通项公式为（）

A.a_n=2^n-1B.a_n=2^{n+1}-3C.a_n=3\times2^n-2D.a_n=2^n+1

二、填空题（每题5分，共15分）

等差数列\{a_n\}中，a_1=10，公差d=-2，则该数列前n项和S_n的最大值为______。

某企业2023年的产值为1000万元，若每年产值的增长率为10%（复利增长），则2026年该企业的产值为______万元（结果保留整数）。

已知数列\{a_n\}的前n项和S_n=n^2+2n，则数列\{a_n\}的通项公式为______。

三、解答题（每题10分，共30分）

已知数列\{a_n\}的通项公式为a_n=2n-1，设b_n=\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}。

（1）证明：\{b_n\}是等差数列；

（2）求\{b_n\}的前n项和T_n。

等比数列\{a_n\}中，a_2=4，a_5=32（a_n0）。

（1）求数列\{a_n\}的通项公式；

（2）若b_n=a_n+n，求数列\{b_n\}的前n项和T_n。

已知数列\{a_n\}的通项公式为a_n=\frac{1}{n(n+1)}，证明：其前n项和S_n1。

答案与解析

一、选择题

答案：A

解析：等差数列中，a_7-a_3=4d，即13-5=4d，得d=2；代入a_3=a_1+2d，5=a_1+4，得a_1=1。

答案：C

解析：等比数列前n项和满足S_2，S_4-S_2，S_6-S_4成等比数列（q\neq-1）。

由S_2=3，S_4-S_2=12，得公比为\frac{12}{3}=4，故S_6-S_4=12\times4=48，所以S_6=15+48=63。

答案：B

解析：构造等比数列，由a_{n+1}=2a_n+3，得a_{n+1}+3=2(a_n+3)。

又a_1+3=4，故\{a_n+3\}是首项为4、公比为2的等比数列，得a_n+3=4\times2^{n-1}=2^{n+1}，即a_n=2^{n+1}-3。

二、填空题

答案：30

解析：S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=10n-n(n-1)=-n^2+11n，这是开口向下的二次函数，顶点在n=\frac{11}{2}=5.5，故n=5或6时S_n最大，S_5=S_6=30。

答案：1331

解析：2023到2026共3年，产值为1000\times(1+10\%)^3=1000\times1.331=1331万元。

答案：

解析：当n=1时，a_1=S_1=1+2=3；

当n\geq2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1，验证n=1时成立，故a_n=2n+1。

三、解答题

（1）证明：

由a_n=2n-1，得\{a_n\}是等差数列，前n项和S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2。

故b_n=\frac{S_n}{n}=n，则b_{n+1}-b_n=(n+1)-n=1（常数），且b_1=1，所以\{b_n\}是首项为1、公差为1的等差数列。

（2）解：

T_n=\frac{n(b_1+b_n)}{2}=\frac{n(1+n)}{2}=\frac{n^2+n}{2}。

（1）解：

设等比数列公比为q，则a_5=a_2\cdotq^3，即32=4q^3，得q=2。

又a_2=a_1q，得a_1=2，故a_n=2\times2^{n-1}=2^n。

（2）解：

b_n=2^n+n，前n项和T_n=(2+2^2+\dots+2^n)+(1+2+\dots+n)。