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(完整版)概率论与数理统计试卷与答案

一、单项选择题（每题3分，共15分）

1.设事件A、B、C满足P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，则以下结论正确的是（）

A.A、B、C两两独立但不相互独立

B.A、B、C相互独立

C.A、B、C中至少有两个不独立

D.无法判断独立性

2.已知P(A)=0.6，P(B|A)=0.5，P(B|$\overline{A}$)=0.3，则P(A|B)=（）

A.0.571

B.0.625

C.0.75

D.0.833

3.设F(x)为随机变量X的分布函数，则以下表述错误的是（）

A.F(x)单调不减

B.F(x)右连续

C.$\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$

D.$P(aX\leqb)=F(b)-F(a-0)$

4.设随机变量X与Y的期望分别为E(X)=2，E(Y)=-1，方差D(X)=4，D(Y)=9，且Cov(X,Y)=1，则E(2X-3Y+5)=（）

A.12

B.13

C.14

D.15

5.设X~N(2,4)，则P(X0)=（）（附：Φ(1)=0.8413，Φ(0)=0.5）

A.0.8413

B.0.6915

C.0.1587

D.0.3085

二、填空题（每题4分，共20分）

1.袋中有4个红球、6个白球，不放回地随机取3个球，至少取到2个红球的概率为__________（结果保留三位小数）。

2.设X~B(5,0.3)，则P(X=2)=__________（结果保留三位小数）。

3.设X服从区间(1,3)上的均匀分布，则P(X2)=__________，E(X2)=__________。

4.已知随机变量X与Y的相关系数ρ=0.5，D(X)=4，D(Y)=9，则Cov(X,Y)=__________。

5.设总体X~N(μ,σ2)，X?,X?,…,X?为来自X的简单随机样本，样本均值为$\overline{X}$，则$\overline{X}$服从的分布为__________。

三、计算题（共65分）

1.（10分）某公司有三个工厂生产同一种零件，工厂甲、乙、丙的产量分别占总产量的30%、50%、20%，次品率分别为2%、3%、1%。现从总产品中随机抽取一个零件，求：

（1）该零件是次品的概率；

（2）若抽到次品，该次品来自工厂乙的概率。

2.（12分）设随机变量X的分布律为：

|X|-1|0|1|

|----|----|----|----|

|P|0.2|0.5|0.3|

（1）求Y=X2的分布律；

（2）计算E(Y)和D(Y)。

3.（12分）设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为：

$$f(x,y)=\begin{cases}kxy,0x1,0yx\\0,\text{其他}\end{cases}$$

（1）求常数k；

（2）求X的边缘概率密度f?(x)和Y的边缘概率密度f?(y)；

（3）求条件概率密度f?|?(x|y)（y0时）。

4.（10分）设随机变量X~N(1,4)，Y=2X+3，求：

（1）E(Y)和D(Y)；

（2）Cov(X,Y)和相关系数ρ??。

5.（11分）设总体X的概率密度为：

$$f(x;\lambda)=\begin{cases}\lambdae^{-\lambdax},x0\\0,x\leq0\end{cases}$$

其中λ0为未知参数，X?,X?,…,X?为来自X的简单随机样本。

（1）求λ的矩估计量；

（2）求λ的极大似然估计量。

6.（10分）某工厂生产的零件重量X服从正态分布N(μ,0.04)，按标准μ=50克。现抽取9个零件，测得样本均值为49.5克，显著性水平α=0.05，检验该批零件是否符合标准（即检验H?:μ=50vsH?:μ≠50）。（附：Z?.???=1.96）

答案

一、单项选择题

1.A（两两独立但不满足三个事件同时独立的条件）

2.A（由贝叶斯公式：P(A|B)=P(AB)/P(B)=[P(A)P(B|A)]/[P(A)P(B|A)+P($\overline{A}$)P(B|$\overline{A}$)]=(0.6×0.5)/(0.6×0.5+0.4×0.3)=0.3/0.52≈0.57