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中学数学函数教学重难点解析

函数作为中学数学的核心内容，贯穿于代数、几何乃至后续的概率统计学习中，其思想方法对学生数学思维的培养至关重要。然而，函数概念的抽象性、符号的严谨性以及性质的多样性，使其成为教学中的一大挑战。本文旨在深入剖析中学函数教学中的重点与难点，探讨其内在逻辑与突破策略，以期为教学实践提供有益参考。

一、函数概念的构建与深化——从具体到抽象的跨越

函数概念的形成是学生从常量数学迈向变量数学的关键一步，其核心在于对“对应关系”的理解。

教学重点：

1.函数定义的准确把握：无论是“变量说”还是“对应说”（或“映射说”），都需强调两个非空数集间的单值对应关系，即对于定义域内的每一个自变量的值，都有唯一确定的函数值与之对应。这是判断一个关系是否为函数的根本依据。

2.函数三要素的理解：定义域、对应法则和值域是构成函数的三个基本要素。其中，定义域是函数的“灵魂”，决定了函数的存在范围；对应法则是函数的“核心”，描述了变量间的依赖关系；值域则是在定义域和对应法则共同作用下的结果。教学中应引导学生认识到定义域和对应法则是确定函数的关键。

教学难点：

1.从“变化过程”到“对应关系”的认知转变：学生初期接触函数，容易停留在“一个量随着另一个量变化”的直观层面，难以上升到对“两个集合间确定对应关系”的抽象理解。例如，对于“y=x2”，学生可能更关注y随x的增大而如何变化，而忽略了对于每一个x的值，y都有唯一确定的值与之对应这一本质。

2.函数符号的理解与运用：“f(x)”这一符号对学生而言较为陌生和抽象。学生不仅需要理解“f”代表一种对应法则，还要能区分f(a)与f(x)的含义，以及在复合函数等复杂情境下符号的意义。

3.定义域的确定与隐含条件的挖掘：学生在求函数定义域时，往往只关注显式条件（如分式分母不为零，偶次根式被开方数非负），而忽略一些隐含条件，如实际问题中的物理意义、几何意义，或后续学习中对数函数的真数大于零、正切函数的定义域等。

突破策略：

*情境引入，从具体到抽象：借助生活实例（如路程与时间、气温与日期）、几何问题（如圆的面积与半径）等，引导学生观察变量间的依赖关系，逐步抽象出函数概念。

*强化对应关系的理解：通过列表法、图像法、解析法等多种表示形式，多角度展现函数的对应关系。例如，利用函数图像的“垂直检验法”直观理解单值对应。

*符号教学的循序渐进：从学生熟悉的“y=...”入手，逐步过渡到“f(x)=...”，通过具体函数实例，让学生在运用中理解符号的意义。

二、函数表示方法的灵活运用——多视角的融合与转化

函数的表示方法是沟通函数概念与性质的桥梁，不同的表示方法各有侧重，其灵活运用是解决函数问题的基础。

教学重点：

1.三种基本表示方法的掌握：解析法（表达式）的精确性、列表法的直观性、图像法的形象性，以及它们各自的适用场景。

2.三种表示方法的相互转化：能够根据解析式画出图像，根据图像或表格信息归纳出函数关系（或近似关系），这是数形结合思想的具体体现。

教学难点：

1.根据实际问题选择合适的表示方法：学生在面对具体问题时，可能难以判断何种表示方法最为有效。

2.分段函数的理解与处理：分段函数是一类特殊且重要的函数，其在不同定义域区间上对应法则不同，学生对其定义域的划分、图像的绘制以及求值等方面容易出错。

3.函数图像的绘制与解读：准确绘制函数图像需要掌握基本函数的图像特征和图像变换规律；从图像中读取信息（如单调性、最值、零点）并进行分析，则考验学生的观察与抽象能力。

突破策略：

*对比教学，突出特点：通过具体案例，让学生体会不同表示方法的优势与局限，例如，用表格法表示离散数据，用图像法展示变化趋势，用解析法进行精确计算。

*强化分段函数教学：强调分段函数是一个函数而非多个函数，通过实例（如出租车计费、邮资计算）理解分段的必要性，练习分段函数的求值、作图及简单应用。

*数形结合思想的渗透：始终强调“数”与“形”的结合，鼓励学生画图、识图、用图。例如，利用图像研究函数的增减性、对称性等。

三、函数性质的理解与应用——把握函数的“灵魂”

函数的性质是函数内在规律的体现，是研究函数、解决问题的关键抓手。

教学重点：

1.单调性的理解与判断：理解单调性的定义，掌握利用定义证明（或判断）函数单调性的步骤，能结合图像判断函数的单调区间。

2.奇偶性的理解与判断：理解奇偶性的定义及其几何意义（图像的对称性），掌握判断函数奇偶性的方法。

3.最值（极值）的概念与求法：理解函数最大值、最小值的含义，能利用单调性、图像或二次函数的顶点公式等求简单函数的最值。

教学难点：

1.单调性定义的严格