专题04 第五章 导数与不等式（含恒成立，能成立问题）（5考点清单，知识导图+7个考点清单题型解读）（原卷版）-A4.docxVIP

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清单04第五章导数与不等式（含恒成立，能成立问题）

（5个考点梳理+7题型解读+提升训练）

清单01分离参数法

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；

步骤：

①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）

②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．

③转化：，使得能成立；

，使得能成立．

④求最值.

清单02分类讨论法

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．

清单03等价转化法

①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.

②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.

清单04最值定位法

（1）,,使得成立

（2）,,使得成立

（3）,,使得成立

（4）,,使得成立

清单05值域法解决双参问题

,,使得成立

①，求出的值域，记为

②求出的值域，记为

③则,求出参数取值范围.

【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题（）

【例1】（24-25高二下·湖南·期中）已知函数，．

(1)求函数在处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围．

【变式1-1】.（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设函数．

(1)若，求在处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若恒成立，求实数的取值范围．

【变式1-2】.（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【变式1-3】.（24-25高二下·福建三明·期中）已知函数.

(1)当时，求函数在处的切线方程；

(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题（）

【例2】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数．

(1)当时，求的单调区间与极值；

(2)若在上有解，求实数的取值范围．

、

【变式2-1】.（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知函数

(1)若，求函数的单调区间和极值；

(2)若存在，使得成立，求a的取值范围．

【变式2-2】.（2021·吉林长春·模拟预测）已知函数.

(1)当时，求的单调区间与极值；

(2)若在上有解，求实数a的取值范围.

【变式2-3】.（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数．

(1)若在上单调递增，求的取值范围；

(2)若关于的不等式有解，求的取值范围.

【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题（）

【例3】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若时，总有成立，求实数的取值范围.

【变式3-1】.（广东省部分学校2024-2025学年高二下学期4月月考数学试卷）已知函数

(1)若，求的极值；

(2)讨论的单调性；

(3)若恒成立，求实数a的取值集合．

【变式3-2】.（24-25高二下·浙江·期中）已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.

【变式3-3】.（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数，，其中为常数.

(1)若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长；

(2)讨论在上的单调性；

(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题（）

【例4】（23-24高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若，证明：存在正实数，使得.

【变式4-1】.（24-25高三下·四川雅安·开学考试）已知函数

(1)若直线与曲线相切，求a的值；

(2)若存在，使得，求a的取值范围．

【变式4-2】.（23-24高三上·广东·阶段练习）已知函数．

(1)试讨论的极值点的个数；

(2)若，且对任意的都有，求的取值范围．

【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题（）

【例5】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数的取值范围是

【变式5-1】.（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是.

【变式5-2】.（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，，