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八年级下册分式应用题专项训练

分式应用题是八年级下册数学学习中的一个重点，也是一个不小的难点。它不仅要求同学们熟练掌握分式的运算规则，更考验大家将实际问题转化为数学模型的能力。很多同学在面对这类问题时，常常感到无从下手，或者因找不到等量关系而功亏一篑。本次专项训练，我们将聚焦分式应用题的解题策略与方法，通过典型例题的剖析和针对性练习，帮助同学们厘清思路，突破瓶颈，切实提升解决实际问题的能力。

一、解题策略与方法指导——拨开迷雾，抓住关键

解分式应用题的核心在于“审清题意，找准等量关系，正确列出分式方程并求解”。具体可遵循以下步骤：

1.认真审题，明确题意，找准“等量关系”：这是解决应用题的前提。仔细阅读题目，理解事件的背景和过程，找出题目中隐含的或明确给出的相等关系。这通常是列方程的依据。可以尝试将题目中的关键信息用下划线标出，或用自己的语言复述题意。

2.合理设元，用未知数表示相关量：根据题目所求，设出恰当的未知数。设元时可以直接设未知数（问什么设什么），也可以间接设未知数（当直接设元难以列出方程时）。设元后，要用含未知数的代数式表示出题目中其他相关的量。

3.依据等量关系，列出分式方程：将题目中的等量关系用含未知数的分式方程表示出来。此时要特别注意，所列方程必须是分式方程，即分母中含有未知数。

4.解分式方程：按照分式方程的求解步骤，先去分母化为整式方程，再求解整式方程，最后必须进行双重检验：

*验根：检验所求的解是否为原分式方程的根（即是否使最简公分母为零）。

*验题意：检验所求的解是否符合实际问题的意义（如时间不能为负，人数不能为分数等）。

5.规范作答：写出明确的答案，并注意单位。

温馨提示：在整个过程中，“等量关系”是灵魂，“设元”是桥梁，“检验”是保障。同学们务必在这几个环节多下功夫。

二、典型例题精析——举一反三，触类旁通

类型一：工程问题

基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间。

通常将工作总量看作单位“1”。

例1：一项工程，甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天。若两队合作，需要多少天完成？

分析：甲队的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{y}$。合作的工作效率为两队效率之和，即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$。设合作需要z天完成，则有$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\timesz=1$。

解答：

设两队合作需要z天完成。

根据题意，得：

$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})z=1$

解这个方程：

$z=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=\frac{xy}{x+y}$

经检验，$z=\frac{xy}{x+y}$是原方程的解，且符合题意。

答：两队合作需要$\frac{xy}{x+y}$天完成。

例2：某车间接到一批加工任务，原计划每天加工100个零件，若干天完成。实际加工时，每天比原计划多加工了20个，结果提前5天完成了任务。问这批零件共有多少个？原计划多少天完成？

分析：设原计划x天完成，则实际用了(x-5)天。工作总量=原计划工作效率×原计划时间=实际工作效率×实际时间。

解答：

设原计划x天完成。

根据题意，零件总数可表示为100x，也可表示为(100+20)(x-5)。

因此，得方程：

$100x=120(x-5)$

解这个方程：

$100x=120x-600$

$20x=600$

$x=30$

则零件总数为：100x=100×30=3000（个）

经检验，x=30是原方程的解，且符合题意。

答：这批零件共有3000个，原计划30天完成。

类型二：行程问题

基本关系式：路程=速度×时间。

常见的有相遇问题、追及问题、顺逆流（风）问题。顺流（风）速度=静水（无风）速度+水流（风）速度；逆流（风）速度=静水（无风）速度-水流（风）速度。

例3：A、B两地相距180千米，一辆客车从A地出发前往B地，另一辆货车从B地出发前往A地。两车同时出发，客车的速度是货车速度的1.5倍，经过1小时后两车相遇。求客车和货车的速度各是多少？

分析：设货车的速度为x千米/小时，则客车的速度为1.5x千米/小时。相遇时，客车行驶的路程+货车行驶的路程=A、B两地距离。

解答：

设货车的速度为x千米/小时，则客车的速度为1.5x千米/小时。

根据题意，得：

$1.5x\times1+x\times1=180$

合并同类项：

$2.5x=180$

$x=72$

则客车速度为：1.5