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MATLAB层次分析法实战编程教程

引言：层次分析法与工程决策

在面对复杂决策问题时，我们常常需要考虑多个相互影响的因素。层次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP）作为一种将定性与定量分析相结合的决策方法，为这类问题提供了清晰的解决思路。它通过将复杂问题分解为多层次的结构，利用决策者的经验判断进行两两比较，最终量化各因素的权重，为决策提供科学依据。MATLAB作为一款强大的数值计算与编程平台，为实现AHP的算法流程提供了高效便捷的工具。本教程将从实际应用出发，详细介绍如何利用MATLAB进行层次分析法的编程实现，帮助读者掌握从构建判断矩阵到得出决策结果的完整过程。

一、层次分析法的基本原理与步骤

层次分析法的核心思想是将决策问题分解为目标层、准则层和方案层（或指标层）等不同层次。其基本步骤通常包括：

1.建立层次结构模型：明确决策目标，识别影响目标实现的主要准则，并列出备选方案（若为指标权重确定问题则可无方案层）。

2.构造判断矩阵：针对上一层某一元素，对下一层与之相关的元素进行两两比较，根据相对重要性程度赋值，形成判断矩阵。通常采用1-9标度法。

3.层次单排序及其一致性检验：计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，将特征向量归一化后作为该层次元素相对于上一层对应元素的权重。同时进行一致性检验，确保判断矩阵的逻辑一致性在可接受范围内。

4.层次总排序及其一致性检验：计算最底层元素（方案或指标）相对于总目标的合成权重，并进行总排序的一致性检验。

5.根据总排序结果进行决策：依据合成权重的大小对方案进行排序或确定指标的重要性。

二、MATLAB实现层次分析法的核心编程

2.1判断矩阵的输入与初始化

在MATLAB中，判断矩阵通常以方阵形式表示。我们可以直接在代码中定义，或通过用户输入的方式获取。例如，若准则层有m个元素，则针对目标层的判断矩阵为m阶方阵。

%示例：假设我们已构建好一个3x3的判断矩阵A（此处仅为示例，实际应根据具体问题填写）

%注意：实际应用中，此矩阵应由决策者根据1-9标度法填写

A=[1,3,5;

1/3,1,2;

1/5,1/2,1];

2.2权重计算与一致性检验（层次单排序）

层次单排序的主要任务是求解判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。

2.2.1计算权重向量

常用的权重计算方法有特征根法、和法、根法等。其中，特征根法（EM法）是AHP中理论上最严格的方法，本教程采用此方法。

%计算判断矩阵的特征值和特征向量

[V,D]=eig(A);

%提取最大特征值及其对应的特征向量

max_eig=max(diag(D));%diag(D)提取对角元素（特征值），max取最大

[~,idx]=max(diag(D));%找到最大特征值的索引

w=V(:,idx);%获取对应特征向量

%将特征向量归一化，得到权重向量

weight=w/sum(w);

weight=real(weight);%确保结果为实数值（理论上应为实数）

2.2.2一致性检验

一致性检验是AHP中至关重要的一步，用于衡量判断矩阵是否存在逻辑混乱。

%计算一致性指标CI(ConsistencyIndex)

n=size(A,1);%判断矩阵的阶数

CI=(max_eig-n)/(n-1);

%查找平均随机一致性指标RI(RandomIndex)

%以下为1-10阶矩阵的RI值（根据萨蒂教授的研究结果）

RI=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49];

ifnlength(RI)

error(判断矩阵阶数过高，本程序暂不支持，请查阅更高阶的RI值表。);

end

current_RI=RI(n);

%计算一致性比例CR(ConsistencyRatio)

ifcurrent_RI==0

CR=0;%当n=1或2时，RI=0，认为判断矩阵总是一致的

else

CR=CI/current_RI;

end

%输出一致性检验结果

fprintf(一致性指标CI=%.4f\n,CI);

fprintf(随机一致性指标RI=%.4f\n,current_RI);

fprintf(一致性比例CR=%.4f\n,CR);

ifCR0.1

fprintf(判断矩阵通过一致性检验，权重结果可接受。\n);

else

fprintf(警告：判断矩阵未通过一致性检验，CR0.1，建议重新构造判断矩