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一元二次方程判别式教学讲义

一、引言：为什么我们需要判别式？

在初中代数的学习中，一元二次方程无疑是一块重要的基石。我们已经掌握了通过配方法、公式法等求解一元二次方程的根。然而，在许多实际问题中，我们并不一定需要求出方程的具体根，而更关心的是：这个方程有实数根吗？如果有，有几个？它们是相等的还是不相等的？要回答这些问题，一个非常关键的工具就是我们今天要深入探讨的——一元二次方程的判别式。它如同方程根的“晴雨表”，能让我们在不求解方程的情况下，快速判断根的性质。

二、判别式的定义与推导

我们从一元二次方程的一般形式开始：

\[ax^2+bx+c=0\quad(a\neq0)\]

其中，\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数，且\(a\)不为零，这是一元二次方程的必要条件。

回忆我们用配方法求解此方程的过程：

1.若\(a\neq1\)，方程两边同时除以\(a\)，得：

\[x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\]

2.移项，将常数项移到等号右边：

\[x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\]

3.配方，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方\(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)：

\[x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\]

4.左边写成完全平方式，右边通分计算：

\[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\]

我们知道，一个数的平方是非负的。因此，方程右边的代数式\(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)的值直接决定了方程是否有实数解，以及解的个数。由于\(4a^2\)（\(a\neq0\)）总是正数，所以右边的符号完全由分子\(b^2-4ac\)决定。

定义：对于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a\neq0)\)，我们把代数式\(b^2-4ac\)叫做该方程的根的判别式，通常用希腊字母“\(\Delta\)”（读作“德尔塔”）来表示，即：

\[\Delta=b^2-4ac\]

三、判别式的性质与作用

有了判别式\(\Delta\)，我们就可以根据它的值来判断一元二次方程根的情况：

1.当\(\Delta0\)时：

\(\frac{b^2-4ac}{4a^2}0\)，方程\(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}\)右边是一个正数。此时，方程有两个不相等的实数根：

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\]

即\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)和\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)。

2.当\(\Delta=0\)时：

\(\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0\)，方程\(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=0\)右边是零。此时，方程有两个相等的实数根：

\[x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\]

我们通常说此时方程有“两个相等的实数根”，而不是“一个实数根”，这是从代数重数的角度考虑，也为后续学习二次函数等内容保持一致性。

3.当\(\Delta0\)时：

\(\frac{b^2-4ac}{4a^2}0\)，方程\(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}\)右边是一个负数。由于任何实数的平方都不可能是负数，因此，此时方程没有实数根。（在复数范围内，此时方程有两个共轭虚根，但这超出了初中数学的范畴。）

总结：

对于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a\neq0)\)：

*\(\Delta0\)?方程有两个不相等的实数根；

*\(\Delta=0\)?方程有两个相等的实数根；

*\(\Delta0\)?方程没有实数根。

这个结论非常重要，它是我们解决与一元二次方程根的情况相关问题的“金钥匙”。

四、判别式的应用

判别式的应用广泛，我们通过几个典型例题来体会其在解题中的作用。

例题1：不解方程，判断下列方程根的情况。

(1)\(x^2-3x+2=0\)

(2)