因式分解方法与应用：添拆项、余式定理与待定系数法.pdfVIP

第八讲：因式分解（二）

知识概要

一、添、拆项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，常把几个同类项合并成一项，

或将两个仅有符号不同的同类项相互抵消为零．而在因式分解过程中，有时需要通过恢复那

些被合并或相互抵消的项，即把多项式的某一项拆成两项或者在多项式中添上两个仅符号相反的

项，使多项式能用分组分解法进行因式分解，这里用到的方法称为拆项法和添项法．

二、余式定因式定

余式定（或称为余数定）：用x−c去除关于x的多项式fx时，所得的余数为

()()

fc．

()

由余式定理，我们得到如下两个重要推论：

fa=0，那么x−a必能整除fx；反过来，如果x−a能整除fx，

因式定：如果()()()()()

则有

fa=0．

()

nn−1q

fx=ax+ax+⋅⋅⋅+ax+a是整系数多项式，则有理根的

有根的求法：设()

nn−1110

p

分子q是常数项a的约数（包括负因数），分母p是首项系数a的约数（包括负因数）．特

0n

殊的，如果首项系数为1，则多项式

fx的所有有理根都是整数根．

()

三、待定系数法

一个整系数多项式如果能分解成两个有理系数的因式的乘积，那么也一定能分解为两个

整系数的因式的乘积．因而我们常用待定系数法讨论整系数多项式的分解，尤其是四次多项

式的分解．

在我们对整系数四次多项式进行因式分解时，先判断有没有有理根，如果有有理根，则

有一次因式，可以用因式定理来分解；如果没有有理根，则无法用因式定理分解，此时可设

其为两个二次因式的乘积，用待定系数法求解．

例题精讲

、添、拆项法

例1.用添、拆项法分解因式：

（1）332