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5道经典高数题库及答案

单项选择题

1.函数$y=\frac{1}{x-1}$的定义域是（）

A.$x\neq0$B.$x\neq1$C.$x\gt1$D.$x\lt1$

答案：B

解析：要使分式有意义，则分母不为零，即$x-1\neq0$，解得$x\neq1$。

2.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=$（）

A.0B.1C.2D.4

答案：C

解析：根据重要极限公式$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}=2$。

3.函数$y=x^2+1$在区间$[1,2]$上的平均变化率为（）

A.2B.3C.4D.5

答案：B

解析：平均变化率为$\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{(2^2+1)-(1^2+1)}{1}=3$。

4.已知$f(x)=\lnx$，则$f^\prime(x)=$（）

A.$\frac{1}{x}$B.$x$C.$\lnx$D.$\frac{1}{x^2}$

答案：A

解析：根据对数函数求导公式，$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$。

5.$\int_{0}^{1}x^2dx=$（）

A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.2

答案：A

解析：由积分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），可得$\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\big|_0^1=\frac{1}{3}$。

多项选择题

1.下列函数中，是奇函数的有（）

A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=x+1$D.$y=\frac{1}{x}$

答案：ABD

解析：奇函数满足$f(-x)=-f(x)$。A选项，$(-x)^3=-x^3$；B选项，$\sin(-x)=-\sinx$；D选项，$\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}$；C选项，$(-x)+1\neq-(x+1)$，不是奇函数。

2.下列极限存在的有（）

A.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$C.$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$D.$\lim\limits_{x\to0}\sinx$

答案：ACD

解析：A选项，$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$；C选项，$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2$；D选项，$\lim\limits_{x\to0}\sinx=0$；B选项，$x\to0$时，$\frac{1}{x}$趋于无穷，极限不存在。

3.下列函数中，在其定义域内连续的有（）

A.$y=x^2$B.$y=\frac{1}{x}$C.$y=\sqrt{x}$D.$y=\lnx$

答案：AC

解析：二次函数$y=x^2$定义域为$R$，处处连续；$y=\sqrt{x}$定义域为$[0,+\infty)$，在定义域内连续；$y=\frac{1}{x}$在$x=0$处无定义，不连续；$y=\lnx$定义域为$(0,+\infty)$，在$x=0$处无定义，不连续。

4.下列求导运算正确的有（）

A.$(x^3)^\prime=3x^2$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}$D.$(e^x)^\prime=e^x$

答案：ABCD

解析：分别根据求导公式，这四个选项的求导都是正确的。

5.下列积分值正确的有（）

A.$\int_{0}^{1}1dx=1$B.$\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}$C.$\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}$D.$\int_{0}^{1}e^xdx=e-1$