高考《数学大合集》专题突破强化训练666期【圆锥】高考卷中的蝴蝶定理.docx

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2025-09-08 发布于未知
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666期

【圆锥】高考卷中的蝴蝶定理

【知识精讲】

一、何谓蝴蝶定理？

【

【蝴蝶定理】过圆弦的中点,任意作两弦和和交弦于,

求证:;

【证明】

如图所示，以为原点,所在直线为轴建立直角坐标系，设圆方程为

设直线的方程分别为.将它们合并为,

于是过点的曲线系方程为

令,得，即过点的曲线系与交于点的横坐标是方程的两个根.（关注微信公众号：Hi数学派）

由韦达定理得,即是的中点,故

【点睛】用曲线系方程证明蝴蝶定理及其推广比用平面几何知识证明要简便许多。

关于曲线系方程有关结论可以参考小π之前推送的文章《529期【圆锥】圆锥曲线系方程如何巧用？》，

链接：/s/HuoC_8pFiNFMzW

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