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2025年第9期数学之友/复习考试/

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一道中考压轴题的解法分析与思考

-以2023年杭州市中考数学第23题为例

陈少伟

浙江省杭州市杭州云谷学校浙江杭州310012

摘要：中考数学压轴题通常综合性强、难度较高，主要考查学生的数学思维和解题能力.本文对一道内涵丰富

的中考压轴题进行多视角分析，厘清几何结构与代数表达之间的关联，得到多种解法.通过继续挖掘其本质，得到更

一般的位置关系，更加有利于培养学生的几何直观、逻辑推理、数学运算等核心素养。

关键词：几何结构；代数表达；解题教学；核心素养

1原题呈现△FOC△FOA.证明ZCAD=45°可以通过证明

ZCAD=ZCOB=45

如图，在OO中，直径AB垂直弦CD于点E，连

接AC,AD,BC，作CFLAD于点F，交线段OB于鉴于以上分析，通过构图和几何推理证明线段

点G(不与点O,B重合），连接OF.相等或者证明角度为45°，可以很自然地得到以下

(1)若BE=1,求GE的长.解法.

(2)求证:BC²=BG·BO.(1)视角一:证明FA=FC.

(3)若FO=FG，猜想ZCAD的度数，并证明你解法1:如图1,延长FO交AC于点H.

的结论。:ZB=ZD,ZD=ZCGB,.ZB=ZCGB.

A:FO=FG,::ZFOG=ZFGO=ZCGB

ZB,..FO//BC.

:AB是直径,.ZACB=90°,..FHIAC,

0

F..AH=CH,..FA=FC.又:CFIAF,.:

△FAC是等腰直角三角形，ZCAD=45°

CD

BA

从命题视角来看，本题涵盖三角形全等、等腰三

角形、三角形相似、圆的基本性质等知识，考查学生H

的阅读能力、文字语言转换成符号语言与图形语言F

的能力、构图能力、运算能力、推理论证能力，让学生

CED

在探索角度的过程中经历判断、猜想、验证、证明的B

图1

过程，考查了化归与转化思想、数形结合思想.

解法2:如图1,延长FO交AC于点H.

2解法展示:AB垂直平分CD,.CE=DE,AC=AD,

从图形结构来看，本题有垂径定理的基本结构::ZCAE=ZDAE.

图，从解题思路上看，第（3)问要求/CAD的