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实变函数考试试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.下列集合中，（）是可数集。

A.实数集R

B.有理数集Q

C.无理数集

答案：B

2.设E是R中的可测集，则m(E)（）。

A.一定大于0

B.一定小于+∞

C.可能为0，可能为+∞，也可能是有限正数

答案：C

3.若函数f(x)在可测集E上几乎处处有限，则（）。

A.f(x)一定在E上可测

B.f(x)不一定在E上可测

C.f(x)一定在E上不可测

答案：A

4.设E?，E?是R中的可测集，E??E?，且m(E?-E?)=0，则m(E?)（）m(E?)。

A.=

B.

C.

答案：A

5.对于可测函数f(x)，g(x)，下列命题正确的是（）。

A.f(x)+g(x)一定是可测函数

B.f(x)g(x)一定是可测函数

C.1/f(x)一定是可测函数（f(x)≠0）

答案：A

6.设E是R中的闭集，则E的余集E?（）。

A.是开集

B.是闭集

C.可能是开集也可能是闭集

答案：A

7.若f(x)在[a,b]上L-可积，则（）。

A.f(x)在[a,b]上R-可积

B.f(x)在[a,b]上不一定R-可积

C.f(x)在[a,b]上一定不是R-可积

答案：B

8.设E是可测集，m(E)=0，则对于任何函数f(x)，（）。

A.f(x)在E上一定可测

B.f(x)在E上L-积分一定为0

C.f(x)在E上一定不可测

答案：A

9.下列关于可测函数列的命题正确的是（）。

A.可测函数列的极限函数一定是可测函数

B.可测函数列的极限函数不一定是可测函数

C.可测函数列的极限函数一定不可测

答案：A

10.设E是R中的可测集，f(x)是E上的简单函数，则（）。

A.f(x)一定在E上可测

B.f(x)不一定在E上可测

C.f(x)一定在E上不可测

答案：A

二、多项选择题（每题2分，共10题）

1.以下关于可测集的说法正确的是（）。

A.空集是可测集

B.有限个可测集的并集是可测集

C.可数个可测集的交集是可测集

D.区间是可测集

答案：ABCD

2.设f(x)是可测集E上的可测函数，则（）。

A.|f(x)|是可测函数

B.f?(x)是可测函数

C.f?(x)是可测函数

D.f2(x)是可测函数

答案：ABCD

3.下列函数中，在[0,1]上可积的有（）。

A.f(x)=x

B.f(x)=1/x（x≠0），f(0)=0

C.f(x)=0

D.f(x)=sinx

答案：ACD

4.关于可测函数的几乎处处相等，下列说法正确的是（）。

A.若f(x)与g(x)几乎处处相等，则f(x)和g(x)在同一可测集上可测

B.若f(x)与g(x)几乎处处相等，且f(x)在某可测集E上可积，则g(x)在E上也可积且积分值相等

C.若f(x)与g(x)几乎处处相等，则它们的间断点集相同

D.若f(x)与g(x)几乎处处相等，则它们的连续点集相同

答案：AB

5.设E?，E?是R中的可测集，则（）。

A.E?∩E?是可测集

B.E?∪E?是可测集

C.E?-E?是可测集

D.E?-E?是可测集

答案：ABCD

6.可测函数的性质有（）。

A.可测函数的和、差、积、商（分母不为0）是可测函数

B.可测函数列的上确界函数是可测函数

C.可测函数列的下确界函数是可测函数

D.可测函数列的极限函数是可测函数

答案：ABCD

7.对于L-积分，下列说法正确的是（）。

A.非负可测函数的L-积分总是存在（可能为+∞）

B.可测函数f(x)在可测集E上L-可积当且仅当|f(x)|在E上L-可积

C.若f(x)在可测集E上L-可积，则f(x)在E的任何可测子集上L-可积

D.若f(x)在可测集E上L-可积，且E??E是可测集，则∫(E?)f(x)dx≤∫(E)f(x)dx

答案：ABCD

8.设E是R中的可测集，下列关于简单函数的说法正确的是（）。

A.简单函数是可测函数

B.简单函数可以表示为有限个特征函数的线性组合

C.任何可测函数都可以用简单函数逼近

D.简单函数的积分容易计算

答案：ABCD

9.下列关于可测集的测度的性质正确的是（）。

A.单调性：若E??E?，则m(E?)≤m(E?)

B.可加性：m(E?∪E?)=m(E?)+m(E?)-m(E?∩E?)

C.可数可加性：若E?，E?，…是互不相交的可测集，则m(∪?E?)=∑?m(E?)

D.若E是可测集，则m(E)=m(E?)

答案：ABC