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MATLAB在静电场中的应用

何凯

摘要：利用数值和解析的方法求解静电场，并利用MATLAB将解出的电场可

视画。数值法主要应用有限元法（偏微分方程工具箱）和差分法，解析法主要应

用镜像法，并讨论了想电荷是如何影响实际电场的，这其实也就是导体表面的感

应电荷对求解空间电场的影响。最后讨论了导体上半空间和球外空间的格林函

数。

关键词：MATLAB静电场

一引言

电磁场是物质世界的重要的组成部分之一，在生产实践和科学技术领域内，

存在着大量和电磁场有关的问题，例如电力系统，凝聚态物理，天体物理，粒子

加速器等，都涉及不少宏观电磁场的理论问题。因此掌握电磁场的基本理论对生

产实践和科学实验都有重大意义。

1864年Maxwell把电磁规律总结为Maxwell方程组。这是电磁理论中最基本

的关系。

现在我们将电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不

随时间而变化的情况。我们研究的主要问题是：在给定自由电荷分布以及周围空

间介质和导体分布的情况下，电场的分布问题。

由Maxwell方程组我们知道静电势满足的微分方程为：

并且利用唯一性定理可知在给定自由电荷分布和边界条件的情况下求解空间

内的电场唯一确定。

下面的问题就是在区域内对方程进行求解。

常用的计算电磁场问题的方法主要有两大类，一是解析法，二是数值法。对于

那些具有简单边界条件和几何形状的问题，可用分离变量法，镜像法和格林函数

法求解电磁场边值问题的解析解。但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于

复杂而无法求解，在这种情况下，一般用数值法求解。

二解析法—镜像法

设电点荷Q附近有一导体。在电电荷的电场作用下，导体面上出现感应

电荷。而真实的电场是自由电荷和感应电荷所激发的电场的叠加。我们设想感应

电荷对空间中电场的影响能否用导体内的一个或几个假想电荷代替。由唯一性定

理可知只要我们能利用假象电荷构造出相同的边界条件，在求解空间中的电场是

相同的。

例1接地的导体平面上有一个半径为a的半球突起，球心在导体平面上，一

自由电荷在上半空间任意位置，求电场。

为此，我门专门做了一个函数hekai,如下：

function[]=hekai(a,r0,phi0,q)

%在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部，半球的球心在导体平面

%上,电电荷4*pi*p*q(p为真空电介常数)在导体上半空间。

%本函数以过电荷和球心并垂直于导体平面的平面上

%画出电势线和电场

%hekai(a,r0,phi0,q)

%a为导体球的半径

%(r0,phi0)为电荷坐标r0a,0phi0pi

%q为电荷量4*pi*p*q

ifnargin~=4

disp(请输入a,ro,phi0,q)

elseifa=0

disp(a0);

elseifr0=a

disp(r0a)

elseifor(phi0=pi,phi0=0)

disp(phi0=pi,phi0=0)

else

[x,y]=meshgrid(-(2*a):0.01:2*a,0:0.01:4*a);

[Q,R]=cart2pol(x,y);

R(R=a)=NaN;ar=a/r0;

figure(1)

subplot(221)

holdon

u1=q./sqrt(r0^2-2*r0*R.*cos(abs(Q-phi0))+R.^2);

contour(x,y,u1,[-1:20,300]);

[ex,ey]=gradient(-u1);

t=0:pi/10:2*pi;

sx=r0*cos(phi0)+0.1*cos(t);sy=r0*sin(phi0)+0.1*sin(t);

streamline(x,y,ex,ey,sx,sy)

axisequal;

tt=0:pi/30:pi;

plot(a*exp(i*tt),r)

plot(-3*a:0.1:-a,zeros(size(-3*a:0.1:-a)),r)

plot(a:0.1:3*a,zeros(size(a:0.1:3*a)),r)

title(孤立电荷产生的电场线和电势线)

holdoff

subplot(222)

u2=-ar*q./sqrt((a*ar)^2-2*a*ar.*R.*cos(Q-phi0)+R.^2);

co