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2024年高三数学函数压轴题

函数作为高中数学的核心内容，其综合应用与导数工具的结合，一直是高考数学压轴题的热门选材。这类题目往往立意新颖，综合性强，对学生的逻辑思维能力、代数变形能力以及数学思想方法的运用都提出了极高要求。本文精选几道具有代表性的函数压轴题，并附上深度解析与点评，旨在帮助同学们洞悉命题规律，掌握解题策略，从容应对高考挑战。

一、函数单调性与极值、最值问题——导数应用的基石

函数的单调性、极值与最值是导数应用的基本落脚点，也是高考函数压轴题的常见切入点。此类问题不仅要求学生熟练掌握导数的计算与几何意义，更要能结合函数的定义域、参数的取值范围进行分类讨论，体现了数形结合与分类讨论的数学思想。

例题1

已知函数\(f(x)=(x-a)e^x-\frac{1}{2}x^2+ax\)，其中\(a\)为实数。

(1)讨论函数\(f(x)\)的单调性；

(2)当\(a0\)时，若函数\(f(x)\)在区间\([-1,1]\)上的最小值为\(-e+\frac{1}{2}\)，求\(a\)的值。

解题思路与点评：

第(1)问考察利用导数研究函数单调性，这是导数的基本功。首先对\(f(x)\)求导，得到\(f(x)\)，然后通过分析\(f(x)\)的正负来确定\(f(x)\)的单调区间。这里的关键在于对导函数\(f(x)\)进行因式分解，通常会分解为含有参数\(a\)的一次因式乘积形式，以便于讨论根的大小关系。本题中，\(f(x)=(x-a+1)(e^x-1)\)，这个分解是解题的突破口。随后，需要比较\(a-1\)与0的大小关系，并结合指数函数\(e^x-1\)的零点\(x=0\)，进行分类讨论，从而确定不同情况下\(f(x)\)的单调递增和递减区间。

第(2)问是在第(1)问单调性讨论的基础上，求解闭区间上的函数最小值问题，并已知最小值反求参数\(a\)。这类问题的常规思路是：根据\(a0\)这一条件，结合第(1)问中对单调性的讨论，确定\(f(x)\)在\([-1,1]\)上的单调性情况（可能需要进一步细分\(a\)的范围，例如\(a-1\)与区间端点\(-1,1\)的比较），找到函数在该区间上的极小值点（如果在区间内）和区间端点，计算这些点的函数值，比较大小后确定最小值，最后根据最小值等于\(-e+\frac{1}{2}\)解方程求出\(a\)。这里需要特别注意，参数\(a\)的范围不同，函数的单调性和最值点可能会发生变化，因此分类讨论必须细致，不能遗漏情况。同时，计算函数值时要仔细，避免运算错误。

核心素养体现：逻辑推理（分类讨论）、数学运算（导数计算、解方程）、直观想象（函数图像趋势）。

二、函数零点问题与参数范围——导数与数形结合的深化

函数的零点问题，特别是由零点个数确定参数取值范围，是近年来高考函数压轴题的高频考点。这类问题往往需要将函数零点个数转化为两个函数图像交点个数，或者通过研究函数的单调性、极值等特征来判断零点的存在性及个数，对学生的综合分析能力要求较高。

例题2

已知函数\(f(x)=\lnx-ax+1\)，\(a\in\mathbb{R}\)。

(1)讨论函数\(f(x)\)的零点个数；

(2)若对任意\(x\in(0,+\infty)\)，均有\(f(x)\leqb-ax\)恒成立，求实数\(b\)的取值范围；

(3)设\(g(x)=f(x)+ax-1=\lnx\)，若\(x_1,x_2\)是函数\(g(x)\)的两个零点，且\(x_1x_2\)，求证：\(x_1+x_2\frac{2}{e}\)。（注：\(e\)为自然对数的底数）

解题思路与点评：

第(1)问讨论函数\(f(x)\)的零点个数。首先，函数定义域为\((0,+\infty)\)。求导得\(f(x)=\frac{1}{x}-a\)。通过对\(a\)的符号进行分类讨论：当\(a\leq0\)时，\(f(x)0\)，函数在定义域内单调递增，结合当\(x\to0^+\)和\(x\to+\infty\)时的函数值趋势，可以判断零点个数。当\(a0\)时，函数\(f(x)\)在\((0,\frac{1}{a})\)上