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积分变换

§1傅里叶（Fourier）积分变换§2拉普拉斯(Laplace)积分变换主要内容注：积分变换的学习中，规定：

§1傅里叶（Fourier）积分变换里叶变换——又简称为傅氏变换内容：傅氏变换概念卷积与相关函数傅氏变换性质

一、傅氏变换1．傅氏积分定理若f(t)在(-∞,+∞)上满足下列条件：（1）f(t)在任一有限区间上满足条件：f(t)至多有有限个第一类间断点和极值点；（2）f(t)在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积（即积分收敛），则有（1）成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以来代替。

1若函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件，则在f(t)的连续点处，式（1）2成立。3设4则562．傅氏变换的概念

从上面两式可以看出，f(t)和F(ω)通过指定的积分运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式，记为F(ω)叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆变换式，记为f(t)叫做F(ω)的象原函数。123654F-1F式右端的积分运算，叫做取f(t)的傅氏变换；（3）式右端的积分运算，叫做取F(ω)的傅氏逆

变换。象函数F(ω)和象原函数f(t)构成一个

傅氏变换对。

01例1求指数衰减函数函数02的傅氏变换及其积分表达式，其中β0。3．例子

解：根据（2）式，傅氏变换为F

通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积分表达式。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得

由傅氏积分定理，可得到一个含参量广义积分的结果：

4．单位脉冲函数（狄拉克---Dirac函数）01设02定义单位脉冲函数为

231若f(t)为无穷可微的函数，则5更一般地有4证明记单位脉冲函数的一些性质：

证明FF单位脉冲函数的傅氏变换

变换为1的傅氏2解：只需证明的傅氏逆变换为u(t)。314例3证明单位阶跃函数

P1由于P2故

这表明的傅氏逆变换为u(t)。u(t)和构成了一个傅氏变换对。同时得到单位阶跃函数u(t)的一个积分表达式

所以1和构成了一个傅氏变换对;和也构成了一个傅氏变换对。类似的方法可得F-1F-1

例4求正弦函数的傅氏变换。F解：

我们可以看出引入δ-函数后，一些在普通意义下不存在的积分，有了确定的数值。工程技术上许多重要函数的傅氏变换都可以利用δ-函数及其傅氏变换很方便地表示出来，并且使许多变换的推导大大地简化。

傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系，这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本概念。在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F(ω)称为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F(ω)|称为f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。对一个时间函数作傅氏变换，就可求出这个时间函数的频谱。由于F(ω)是随ω连续变化的，因而称|F(ω)|为连续频谱。5．非周期函数的频谱

图1-8例5作出图1-8中所示的单个矩形脉冲的频谱图。

解根据定义，单个矩形脉冲的频谱函数为01振幅频谱02部分的频谱图如图1-9所示。

图1-9

振幅频谱|F(ω)|的一个性质：振幅频谱|F(ω)|是频率ω的偶函数，即所以事实上，显然有

记称为f(t)的相角频谱。可看出，相角频谱是ω的奇函数，即

的频谱。解根据例1的结果， 所以指数衰减函数的频谱例6求指数衰减函数

例7作单位脉冲函数及其频谱图。解由于所以单位脉冲函数的频谱及其频谱图表示在图1-11中。图1-11

同样，当时，。而f(t)的振幅频谱为在物理学和工程技术中，将会出现很多非周期函数，它们的频谱求法，可通过查用傅氏变换（或频谱）表来求得。

本节将介绍傅氏变换的几个重要性质，我们假定在这些性质中，求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件，并设是常数。01F02F036.傅氏变换的性质

A线性性质BCFD证明：只需根据定义就可推出。傅氏逆变换也具有类似的线性性质E这个性质表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合。F

b.位移性质FF（3）这表明时间