第十五章 轴对称综合与实践课 课件人教版数学八年级上册.pptxVIP

八上数学RJ综合与实践最短路径问题第十五章 轴对称

1.能够将生活中的最短路径问题抽象并转化为数学问题，增强问题转化和抽象能力.2.能利用轴对称、平移的相关知识解决简单的最短路径问题，体会图形变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，增强应用意识．

1.如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.如图，点P是直线l外一点，点P与直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？AB①②③②最短.因为“两点之间，线段最短”.PlABCDPC最短.因为“垂线段最短”.

日常生活中经常会遇到最短路径问题，从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题后，常常是求线段和的最小值问题.在前面的学习中，我们知道，“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等，接下来我们对最短路径问题进行探究.

活动目标会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题；会用数学知识、思想、方法描述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题；会通过逻辑推理解决数学问题；会用数学问题的结果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案.

活动准备1.查阅资料，列举生活中的最短路径问题.2.了解光行最速原理：光线所行进的“光程”最短，即光行进的时间最短.

光行最速原理如图，MN是光学性质不同的两个均匀媒质的分界面，当入射光线从第一媒质射到分界面时，形成反射光线和折射光线.反射光线传回第一媒质，折射光线进入第二媒质.入射光线与分界面的法线组成的角，叫作入射角；而反射光线、折射光线与分界面的法线组成的角，分别叫作反射角、折射角.光行最速原理，也称为费马原理，是几何光学中的一个基本原理，它揭示了光线传播路径选择的规律.

经过实验，人们发现了光线的反射定律与折射定律.反射定律说的是光线的入射角等于反射角；折射定律说的是光线的入射角与折射角之间有一个特定的数量关系，1657年，法国数学家费马(P.Fermat，1601一1665)将光线的反射定律与折射定律统一起来，提出著名的光行最速原理：光线所行进的“光程”最短.简略地说，光行进的时间最短.用在光线的反射定律就是，当光线行进时入射角等于反射角，光行进的时间最短.由于是在同一媒质中传播，因而也就是光线行进的路程最短.

光行最速原理不仅帮助我们理解光的传播规律(如反射定律和折射定律)，还为光学系统的设计和分析提供了理论依据.通过光行最速原理，可以解决许多实际问题，例如优化光学元件的形状、设计最短路径的光学系统等.光行最速原理不仅适用于光学问题，也可以用来解决一些几何优化问题，例如寻找周长最小的内接三角形.通过将几何问题转化为光线路径问题，可以利用光行最速原理来寻找最优解.

活动任务活动一：牧民饮马问题活动二：牧民饮马问题的拓展活动三：造桥选址问题

任务1 如图，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？lBAC提示：从数学的角度看，如果把河边l近似地看成一条直线，问题就是要在直线l上找一点C，使AC与CB的和最小.

lBAC思考 (1)如果点A，B是直线l异侧的两个点，如何在l上找一点C，使AC与CB的和最小？C解：根据“两点之间，线段最短”可知，连接AB交直线l于点C，此时AC与CB的和最小.

思考 (2)在任务1中，点A，B在直线l的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为(1)中的问题吗？lBACB′C解：如图，作点B关于直线l的对称点B′，则B′C=BC，AC与BC的和最小转化为AC与B′C的和最小.连接AB′交直线l于点C，此时点C就是所求的饮马点.（说明：也可作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C）

任务2 证明你在任务1中得到的结论.提示：设点C为河边l上使AC+CB最小的点，在l上另外任取一点C′，证明AC+CBAC+CB.lBAB′C

证明：如图，在直线l任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC.∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC+BC′=AC+BC.在△AB′C′中，AB′AC′+B′C′，∴AC+BCAC′+BC′，即AC+BC最小.lBAC′B′C

任务3 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.如图，点光源A发出的光线经过平面镜m反射后到达点B，请作出光线行进的最短路径.

解：将光线的入射点和目标点视为定点，平面镜视为直线，通过几何对称性，找到入射点关于平面镜的对称点，连接对称点和目标点，交平面镜于反射点.如图，作点光源A关于平面镜m的对称点A，连接对称点A和目标点B，则交点O即为反射点，此时光线行进的路径最短.AO

任务1 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再