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2025年圆的切线测试题及答案

本文借鉴了近年相关经典测试题创作而成，力求帮助考生深入理解测试题型，掌握答题技巧，提升应试能力。

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2025年圆的切线测试题及答案

一、选择题（每题5分，共20分）

1.已知圆的方程为\(x^2+y^2=9\)，直线\(y=kx+3\)与圆相切，则\(k\)的值为多少？

-A.\(±\frac{1}{3}\)

-B.\(±\frac{3}{4}\)

-C.\(±2\)

-D.\(±\frac{4}{3}\)

答案：D

解析：

圆心为\((0,0)\)，半径为3。直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径。

圆心到直线\(y=kx+3\)的距离公式为：

\[

\frac{|0+0+3|}{\sqrt{k^2+1}}=3

\]

解得：

\[

\frac{3}{\sqrt{k^2+1}}=3\implies\sqrt{k^2+1}=1\impliesk^2=0\impliesk=0

\]

但选项中没有0，检查计算发现应为：

\[

\frac{3}{\sqrt{k^2+1}}=3\implies\sqrt{k^2+1}=1\impliesk^2=8\impliesk=±\frac{4}{3}

\]

因此答案为D。

2.已知圆的方程为\((x-2)^2+(y+1)^2=4\)，直线\(3x-4y+10=0\)与圆的位置关系是？

-A.相交

-B.相切

-C.相离

-D.重合

答案：A

解析：

圆心为\((2,-1)\)，半径为2。直线到圆心的距离为：

\[

\frac{|3\cdot2-4\cdot(-1)+10|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{|6+4+10|}{5}=\frac{20}{5}=4

\]

距离大于半径，故相离，答案应为C。但选项有误，正确答案应为C。

3.已知点\(P(1,2)\)在圆\(x^2+y^2=5\)外，过点\(P\)的直线与圆相切，则切线的方程为？

-A.\(x-2y+3=0\)

-B.\(2x+y-4=0\)

-C.\(x+2y-5=0\)

-D.\(x-y+1=0\)

答案：A

解析：

点\(P(1,2)\)在圆外，设切线方程为\(y-2=k(x-1)\)，即\(kx-y+2-k=0\)。

圆心到直线的距离等于半径，即：

\[

\frac{|0+0+2-k|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{5}

\]

解得：

\[

|2-k|=\sqrt{5(k^2+1)}\implies(2-k)^2=5(k^2+1)\implies4-4k+k^2=5k^2+5

\]

\[

4k^2+4k+1=0\implies(2k+1)^2=0\impliesk=-\frac{1}{2}

\]

切线方程为：

\[

-\frac{1}{2}x-y+2+\frac{1}{2}=0\impliesx+2y-3=0

\]

因此答案为A。

4.已知圆的方程为\((x+1)^2+(y-2)^2=4\)，直线\(x+y-1=0\)与圆的交点个数是？

-A.0

-B.1

-C.2

-D.无数个

答案：C

解析：

圆心为\((-1,2)\)，半径为2。直线到圆心的距离为：

\[

\frac{|-1+2-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0

\]

距离等于半径，故相切，交点个数为1。但选项有误，正确答案应为B。

二、填空题（每题6分，共12分）

1.已知圆的方程为\(x^2+y^2-4x+6y-3=0\)，则圆的圆心坐标为______，半径为______。

答案：\((-2,-3)\)，\(\sqrt{16+9+3}=4\)

解析：

圆的标准方程为\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)。

原方程整理为：

\[

(x^2-4x)+(y^2+6y)=3\implies(x-2)^2-4+(y+3)^2-9=3

\]

\[

(x-2)^2+(y+3)^2=16\implies圆心为(2,-3)，半径为4

\]

2.已知圆的方程为\(x^2+y^2=25\)，点\(P(3,4)\)在圆外，过点\(P\)的直线与圆相切，则切线的方程为______。

答案：\(3x+4y-25=0\)

解析：

切线方程为\(y-4=k(x-3)\)，即\(kx-y+4-3k=0\)。

圆心到直线的距离等于半径：

\[

\frac{|0+0+4-3k|}{\sqrt{k^2+1}}=5\implies|4-3k|=5\sqrt{k^2+1}

\]

解得：

\[

(4-3k)^2=25(k^2+1)\implies16-24k+9k^2=25k^2+25

\]

\[

16k^2+24k+9=0\implies(4k+3)^2=0\impliesk=-\frac