抛物型方程的差分方法.pptVIP

由方程右边进一步，考虑热传导方程(2.38)的差分近似。12在上式中保留前二项，并且和分别用和代替，则得差分方程(2.39)第31页，共83页，星期日，2025年，2月5日也可通过直接用中心差分算子代替微分算子的办法获得方程(2.38)的差分近似(2.40)这也是一个显式差分格式。格式(2.39)和(2.40)的截断误差阶都是。易见，由注：均在处计算。Delta第32页，共83页，星期日，2025年，2月5日显然，微分方程(2.36)，(2.38)中的如果为，即其自变量包括空间变量和时间变量，这时差分格式(2.37)，(2.39)，(2.40)同样是微分方程的具有截断误差阶的差分近似，这时格式(2.37)，(2.39)中和,格式(2.40)中和分别换成,。代入格式(2.40)即为格式(2.39)，差分格式(2.40)的推导方法,即在微分方程中直接用差分算子代替正如前面已经指出的是推导差分格式的一个常用方法。第33页，共83页，星期日，2025年，2月5日2.3隐式差分格式隐式差分格式特点：1.具有二个或二个以上结点处的值未知；2.计算工作量较大；3.稳定性较好。第34页，共83页，星期日，2025年，2月5日得由推导其最简单的隐式差分逼近─古典隐式格式。现在对热传导方程2.3.1古典隐式格式1715第35页，共83页，星期日，2025年，2月5日格式用图2.5表示，其截断误差阶为，与古典显式差分格式相同。或者(2.41)保留二阶导数项，且以替代，则得差分格式我们也可通过直接用差分算子代替的方法，即代入微分方程，得到格式(2.41)。古典隐式差分格式第36页，共83页，星期日，2025年，2月5日m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n图2.5第37页，共83页，星期日，2025年，2月5日隐式差分格式是解热传导方程(2.26)的常用的差分格式，由式(2.24)，有2.3.2隐式格式由得(2.42)42第38页，共83页，星期日，2025年，2月5日两边仅保留二项，用代替，则得差分格式(2.43)这是一个隐式差分格式，称为差分格式，截断误差阶为。(2.44)由于格式(2.44)中包括六个结点，故也称为六点格式(如图2.6所示)。第39页，共83页，星期日，2025年，2月5日m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n图2.6m-1,nm+1,n44第40页，共83页，星期日，2025年，2月5日也可将代入微分方程(2.26)，得到格式。第41页，共83页，星期日，2025年，2月5日由式(2.19.3)，可令则可得另一精度较高的六点差分格式，如前在式(2.42)中仅保留直到的项，即有13代入上式，则有如下差分格式：(2.45)称为差分格式。38截断误差阶23第42页，共83页，星期日，2025年，2月5日23因为48第43页，共83页，星期日，2025年，2月5日前面，我们已经推导了热传导方程(2.26)的古典显式格式。古典隐式格式及格式等。实际上，它们都可以作为本节推导的加权六点隐式格式的特殊情形。2.3.3加权六点隐式格式由得到即第44页，共83页，星期日，2025年，2月5日用代替，则得差分格式或者(2.46)这是一个六点差分格式(如图2.7所示)，称为加权六点差分格式。40时,为古典显式格式；时,为古典隐式格式；时,为格式；第45