第三节公式第四节函数的单调性与凹凸性.pptVIP

一、函数单调性的判定法第31页，共52页，星期日，2025年，2月5日那么函数在[a,b]上单调增加；(2)如果在(a,b)内那么函数在[a,b]上单调减少.1.判定定理：定理1.设函数在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(1)如果在(a,b)内(1)证明：设：则由中值定理：第32页，共52页，星期日，2025年，2月5日1)若函数在驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.说明:2)函数单调区间的分界点也可能是不可导点.一般地,如果在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正(或负)时,在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.那么第33页，共52页，星期日，2025年，2月5日求函数导数求函数的驻点以驻点为端点将定义域划分成若干个子区间；在各子区间内分别判别导数的符号,写出各单调区间.2.函数单调区间的求解步骤:导数为0或导数不存在的点称为驻点从而确定其单调性；第34页，共52页，星期日，2025年，2月5日例2.讨论函数的单调性.在区间上的单调性.例1.判断函数解：令：单调增在得：解：令：得：函数为单调减函数为单调增当当时时第35页，共52页，星期日，2025年，2月5日例3.确定函数的单调区间.解：令：得：所以函数为单调减区间为函数为单调增区间为第36页，共52页，星期日，2025年，2月5日例4.确定函数的单调区间.解：令：得：所以函数为单调减区间为函数为单调增区间为第37页，共52页，星期日，2025年，2月5日例5.当时成立.3.应用:利用函数的单调性可以证明不等式证明：当时,试证：时有即：函数为单调增函数第38页，共52页，星期日，2025年，2月5日例6.当时证明：当时,试证：时有即：为单调增函数无法判断正负号为单调增函数时所以有：第39页，共52页，星期日，2025年，2月5日第1页，共52页，星期日，2025年，2月5日特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x的一次多项式第2页，共52页，星期日，2025年，2月5日1.求n次多项式要求:故令则近似等于第3页，共52页，星期日，2025年，2月5日2.余项估计令(称为余项),则有第4页，共52页，星期日，2025年，2月5日第5页，共52页，星期日，2025年，2月5日公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当第6页，共52页，星期日，2025年，2月5日公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④*可以证明:④式成立第7页，共52页，星期日，2025年，2月5日特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差第8页，共52页，星期日，2025年，2月5日称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式第9页，共52页，星期日，2025年，2月5日二、几个初等函数的麦克劳林公式其中第10页，共52页，星期日，2025年，2月5日其中第11页，共52页，星期日，2025年，2月5日42246420246泰勒多项式逼近第12页，共52页，星期日，2025年，2月5日42246420246泰勒多项式逼近第13页，共52页，星期日，2025年，2月5日类似可得其中第14页，共52页，星期日，2025年，2月5日其中第15页，共52页，星期日，2025年，2月5日已知其中类似可得第16页，共52页，星期日，2025年，2月5日三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.第17页，共52页，星期日，2025年，2月5日已知例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过解:令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9