数值计算的基本概念.pptVIP

第1页，共29页，星期日，2025年，2月5日§1引言一、数值学科的发展历史及现状现状特点：（1）应用广泛边缘学科计算机模拟实验（指纹、人脸识别等，爆炸模拟等）科学与工程计算（2）主要工作误差评估（讨论方法的好坏）寻求适合计算机计算的方法抽象性；严密的科学性；应用的广泛性；使用的高技术性历史（经典的工程数学问题）（1）应用方面：解决一些不能求得精确解的问题（近似解）第2页，共29页，星期日，2025年，2月5日二、数值分析的研究对象对象——分析实际工程计算问题，由数学模型提出求解的数值计算方法并编程计算出结果，然后进行误差分析。（2）数值计算本身的特点构造性：递推性：离散化：近似替代：计算离散点上的近似值；有可靠的理论分析；算法理论主要是连续系统的离散化数值求解。方法的构造，解的存在唯一性的证明复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复（适合计算机计算）在误差允许的范围内，无限次的计算用有限次计算替代模拟仿真：可通过计算机的仿真实验验证实际的工程计算第3页，共29页，星期日，2025年，2月5日解决现代工程技术问题的基本过程（如左图）数值分析是研究适合于在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算复杂性好的数值计算方法。分析实际问题数值计算方法数学模型程序设计上机计算结果实际工程计算软件的基础是数值计算方法—算法，是数值分析课程研究的核心对象。构造算法的基本手段：近似研究算法的核心问题：近似对计算的影响—误差分析结论：第4页，共29页，星期日，2025年，2月5日§2误差与有效数字一、误差种类与来源认识实际问题观测误差数值计算方法数学模型程序设计上机计算求出结果模型误差截断误差舍入误差观测误差（或称测量误差）由数据观测产生的误差模型误差数学模型是实际问题的抽象和简化，其间存在误差截断误差（或方法误差）由于问题不能精确求解，近似计算的方法所引起舍入误差（课后详细阅读课本p.22相关内容）计算机实现计算时，机器的有限字长所造成第5页，共29页，星期日，2025年，2月5日例1解:3216…失之毫厘,差之千里！原因——误差的传播与累积第6页，共29页，星期日，2025年，2月5日二、误差的基本概念(从误差度量上来说)1.绝对误差定义：设某量的准确值为x，是x的近似值，绝对误差限。例2电流表、电压表等仪器。例3通常x是未知的，故未知，但一般地?已知。绝对误差不是误差的绝对值，即可正可负。*的绝对误差。为x称*-=xxxe)(第7页，共29页，星期日，2025年，2月5日2.相对误差定义：设某量的准确值为x，是x的近似值，准确值之比为的相对误差。称δ为的相对误差限。例4解:但是的一个好的近似，不是的好的近似.称绝对误差与Why?第8页，共29页，星期日，2025年，2月5日近似值的相对误差是近似值精确度的基本度量，一个近似值的相对误差越小，则近似值越精确。结论:通常将作为的相对误差。较小时相对误差限δ是未知的，但可以确定是一个无量纲的数，。第9页，共29页，星期日，2025年，2月5日三、有效数字定义：设x为准确值，为x的近似值且可表示为若的绝对误差其中为0,1,…,9中的一个数字。误差不超过m-n位的半个单位即有n位有效数字，或说准确到m-n位。字为的有效数字，记为n，则称该位到的第一位非零数满足，有效数字的位数不能仅考虑例55位有效数字1位有效数字第10页，共29页，星期日，2025年，2月5日一个十进制数近似值的有效数字，