2025年专题 22.4二次函数与一元二次方程[举一反三讲义]数学【人教版】九年级上学期.pdfVIP

专题22.4二次函数与一元二次方程(举一反三讲义)

【人教版】

题型归纳

【题型1抛物线与x轴的交点】

【题型2利用二次函数的图象确定方程根的情况】

【题型3求x轴与抛物线的截线长】

【题型4利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】

【题型5利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】

【题型6利用不等式求自变量或函数值的取值范围】

【题型7根据两函数交点确定不等式的解集】

【题型8抛物线与x轴交点上的四点问题】

举一反三

知识点1二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程是二次函数的函数值y=0时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对

应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.

二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根.

(2)二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系：

试卷第1页，共12页

a0(示意图)a0(示意图)

一元二次方程根的情况

↑yy4有两个不相等的实数根

b2-4ac0

xx.XX

0xoxx12=-±22-40

↑yy个-x一2,有两个相等的实数根

b2-4ac=0x0X

0x?=x2=-a

x=x=26

yy4

O

b2-4ac0无实数根

0

知识点2利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解

利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤

(1)画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；

(2)确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间；

(3)列表，在(2)中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值

正负交替的地方.

通过列表求近似根的具体过程：

在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，

看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，

似根.从图象上观察，(x,Y)离x轴越近，y值越接近0,而y=0时x的值就是方程的确

切根.

知识点3二次函数与一元二次不等式的关系

利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤：

(1)将一元二次不等式化为ax2+bx+c0(或0)的形式；

(2)明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算b2-4ac的值；

(3)作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；

试卷第2页，共12页

(4)二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小

于零.

以y=ax2+bx+c(a0)为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表：

◆=b2-4ac◆0◆=00

二次函数

↑y↑y↑y

y=ax2+bx+co

x?x2

Xox

x?=x?oX

(a0)的图像

一元二次方程

ax2+bx+c=0x?,X?x,=x,2没有实数根

(a0)的根

不等式ax2+bx+c0