空间向量解决立体几何问题.pptVIP

例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO第30页，共43页，星期日，2025年，2月5日解:建立如图示的直角坐标系,则A(,0,0),B(0,,0)A1(,0,).C(-,0,)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)由得，解得，取y=,得n=(3,,0)而∴∴第31页，共43页，星期日，2025年，2月5日第1页，共43页，星期日，2025年，2月5日1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。立体几何问题的类型第2页，共43页，星期日，2025年，2月5日利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展。主要变化是维数增加了，讨论的对象由二维图形变为三维图形。为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来。第3页，共43页，星期日，2025年，2月5日直线的方向向量和法向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量。如图，在空间直角坐标系中，由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是：zxyAB1.直线的方向向量第4页，共43页，星期日，2025年，2月5日αn直线的方向向量和法向量2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.第5页，共43页，星期日，2025年，2月5日利用空间向量决定点、直线和平面在空间中的位置1、如何确定一个点在空间的位置？OP2、如何确定一条直线在空间的位置？3、如何确定一个平面在空间的位置？O第6页，共43页，星期日，2025年，2月5日因为方向向量与法向量可以确定直线和平面向量，所以我们可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系。第7页，共43页，星期日，2025年，2月5日知识点设直线的方向向量为分别为，平面的法向量分别为第8页，共43页，星期日，2025年，2月5日习题讲解1、设分别是直线的方向向量，根据下列条件判断直线的位置关系。第9页，共43页，星期日，2025年，2月5日习题讲解2、设分别是平面的法向量，根据下列条件判断平面的位置关系。第10页，共43页，星期日，2025年，2月5日例题讲解定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。已知：直线和平面，其中，相交，，求证：第11页，共43页，星期日，2025年，2月5日1、已知A（1，0，1），B（0，1，1），C（1，1，0），求平面ABC的一个法向量。习题讲解依题意得：解：设平面ABC的一个法向量，令，则所以，平面ABC的一个法向量为1第12页，共43页，星期日，2025年，2月5日第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.求平面的法向量的坐标的步骤第13页，共43页，星期日，2025年，2月5日2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy习题讲解第14页，共43页，星期日，2025年，2月5日解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由