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2026届天津南开中学数学高二上期末调研试题

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为则椭圆C的长轴长为（）

A.2 B.

C.4 D.8

2．已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

3．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）

A. B.

C.1 D.

4．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5．设F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）

A.5 B.

C. D.9

6．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为()

A. B.

C. D.

7．已知椭圆的中心为，一个焦点为，在上，若是正三角形，则的离心率为（）

A. B.

C. D.

8．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为

A. B.

C. D.

9．已知集合A={1，a，b}，B={a2，a，ab}，若A=B，则a2021+b2020=（）

A.-1 B.0

C.1 D.2

10．设,则是的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

11．数列满足，且，则的值为（）

A.2 B.1

C. D.-1

12．已知{an}是以10为首项，－3为公差的等差数列，则当{an}的前n项和Sn，取得最大值时，n=（）

A.3 B.4

C.5 D.6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知等差数列是首项为的递增数列，若，，则满足条件的数列的一个通项公式为______

14．已知数列中，，，则_______.

15．过直线上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为______

16．已知正项数列的前n项和为，且，则__________，满足不等式的最大整数为__________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，四边形为矩形，，，为的中点，与交于点，平面.

（1）若，求与所成角的余弦值；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

18．（12分）已知直线：，直线：.

（1）若，求与的距离；

（2）若，求与的交点的坐标.

19．（12分）已知各项为正数的等比数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

20．（12分）设：实数满足，：实数满足.

（1）若，且为真，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

21．（12分）如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，.

（1）求证：；

（2）点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围.

22．（10分）已知抛物线：的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为.

（1）求的方程；

（2）为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B，C为E上两个不同的点，其中B点在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四边形AOBC的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】根据椭圆的离心率，即可求出，进而求出长轴长.

【详解】由椭圆的性质可知，

椭圆的离心率为，则，即

所以椭圆C的长轴长为

故选：C.

【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，属于基础题.

2、B

【解析】根据题意，将问题转化为对任意的，，利用导数求得的最大值，再分离参数，构造函数，利用导数求其最大值，即可求得参数的取值范围.

【详解】由题可知：对任意的，，都有恒成立，

故可得对任意的，；

又，则，

故在单调递减，在单调递增，

又，，

则当时，,.

对任意的，，即，恒成立.

也即，不妨令，

则，故在单调递增，在单调递减.

故，则只需.

故选：B.

3、B

【解析】先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.

【详解】