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第二讲三角形的等积变形

内容概述

我们已经知道三角形面积的计算：三角形面积底×高÷2

从这个我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘

积．如果三角形的底不变，大（角形面积也就越大（小）；

如果三角形的高不变，底越大（角形面积也就越大（小）；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同

时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积

与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底

的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：

①等底等高的两个三角形面积相等．

②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一

个三角形面积的几倍．

若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一

个三角形面积的几倍．

③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ΔACD和ΔBCD夹在一AB

组平行线之间，且有公共底边CD那么SΔACD=SΔBCD；反之，如果

SΔACD=SΔBCD，则可知直线AB平行于CD。CD

例题精讲

【例1】如右图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。

①求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？

②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？

分析：因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从

A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。

于是：三角形ABD的面积=12×高÷26×高

三角形ABC的面积（12+4）×高÷2=8×高

三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高

所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。

巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数底的倍数

【例2】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD=12厘米，DE=3厘米。

①求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？

分析：因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD

是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，

于是：三角形ABC的面积=BC×12÷2=BC×6

三角形EBC的面积=BC×3÷2=BC×1.5

所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍。

巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数高的倍数

【例3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．

分析：法1：如图（1），将BC边四等分，连接各等分点，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC面积相等。

法2：如图（2），D是BC的二等分点，E、F是AC、AB的中点，从而得到四个等积三角形△ADF、△

BDF、△DCE、△ADE．

法3：如图（3），D是BC的四等分点，E、F是AD