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计算流体动力学
Computationalfluidmechanics
南京工业大学机械与动力工程学院
凌祥
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2
第三章偏微分方程数学性质对CFD影响
拟线性偏微分方程分类
确定偏微分方程普通方法（特征值法）
不一样类型偏微分方程普通性质
定解问题适应性
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3
基本概念
记号
函数
偏微分方程
拟线性偏微分方程分类
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4
偏微分方程阶数
一阶
二阶
四阶
拟线性偏微分方程分类
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5
偏微分方程线性性质（一阶为例）
拟线性偏微分方程分类
线性
拟线性
非线性
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6
当一个n价偏微分方程系数依赖于n阶导数时，此方程是非线性
当系数依赖于m阶导数，而m＜n时，它就是拟线性
方程线性性质极为主要，因为对于线性和拟线性偏微分方程，它们许多解析性质已被了解，而对于非线性偏微分方程则必须逐一地去研究它。
拟线性偏微分方程分类
偏微分方程阶数线性性质
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7
拟线性偏微分方程分类
第7页
8
拟线性偏微分方程分类
抛物型
椭圆型
双曲型
?
怎样得出
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9
拟线性偏微分方程分类
考虑以下拟线性方程组
u和v是未知数，都是x、y函数。
我们能够把u和v想象成xy平面连续速度场
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10
拟线性偏微分方程分类
考虑xy平面任意一点，如图中P点
写出u和v全微分
系数矩阵
（1）、（2）、（3）、（4）组合成一个方程组：
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11
拟线性偏微分方程分类
特征线
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12
拟线性偏微分方程分类
特征线
展开得
令
方程演化为
这么我们能够积分求得特征曲线y=y(x)
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拟线性偏微分方程分类
经过P点得斜率：
判别式：
二次曲线是双曲线
二次曲线是抛物线
二次曲线是椭圆
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确定偏微分方程普通方法（特征值法）
上一节借助克莱默法则得到偏微分方程分类，本节讲另外一个判别方法－特征值法：
先假设上节方程（1）（2）中f1、f2为0：
定义列向量：
其中：
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15
确定偏微分方程普通方法（特征值法）
利用特征值就能够确定方程组类型
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二阶波动方程
1双曲型方程
确定偏微分方程普通方法（特征值法）
拟线性形式
特征方程
I为单位矩阵
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1双曲型方程
确定偏微分方程普通方法（特征值法）
二阶波动方程
特征方程有两个实根
波动方程所以是双曲型，轻易求出两个左特征向量为
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1双曲型方程
确定偏微分方程普通方法（特征值法）
二阶波动方程
对应特征相容关系为：
沿特征线
沿特征线
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1双曲型方程
确定偏微分方程普通方法（特征值法）
二阶波动方程
引入变量置换：
其中f，g为任意可微函数，所以，波动方程通解为：
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1双曲型方程
确定偏微分方程普通方法（特征值法）
考虑初值问题，初始条件为：
则波动方程解为：
这就是D’Alembert（达朗贝尔）公式
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1双曲型方程
确定偏微分方程普通方法（特征值法）
依据以上分析，归纳波动方程特点：
（也代表双曲型方程普通性质）
两条特征线和两个特征相容关系。每个特征相容关系在对应特征线上传输，速度是λk(k=1,2)
两条特征线上特征相容关系综合起来，和原来偏微分方程等价
时间变量含有单向性。适合推进求解
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热传导方程
2抛物型方程
确定偏微分方程普通方法（特征值法）
引入变量
拟线性形式
特征方程
其中A为：
第22页
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2抛物型方程
确定偏微分方程普通方法（特征值法）
特征方程解为一个二重根
即说明热传导方程是抛物型。
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确定偏微分方程普通方法（特征值法）
抛物型方程特点：
抛物型方程独立特征向量少于特征值数，所以，特征相容关系所包含信息少于原抛物型偏微分方程信息，不可用特征线方法求解；
特征相容关系个数少于拟线性方程组未知量个数，抛物型方程不存在有限依赖域；
与双曲型方程类似，抛物型方程时间变量也含有单向性，也适合推进求解。
2抛物型方程
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3椭圆型方程
确定偏微分方程普通方法（特征值法）
拉普拉斯（Lplace）方程
所以，拉普拉斯（Lplace）方程是椭圆方程
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3椭圆型方程
确定偏微分方程普通方法（特征值法）
椭圆型方程特点：
椭圆型方程因为其特征值均为复数，所以特征线、相容关系均无定义；
不存在有限影响域和依赖域；
不适合推进求解。
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确定偏微分方程普通方法（特征值法）
4举例说明特征值法
考虑可压缩无粘气体二维无旋定常流动。
假设流场源对自由来流小扰动（比如，以小迎角绕过细长体流动），而且来流马赫数是亚声速或者超声速（但不是跨声速或者高超声速），则连续性方程、动量方程和能量方程可简化为：
u’和
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