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第四章n维向量空间小结n维向量空间线性方程组

2主要内容：一．两个重要概念：×

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4相关结论：

5(2)线性表出：

6三、最大无关组，向量组的秩最大无关组的两个等价命题：命题1：(1)线性无关；(2)向量组中任何一个可由它们线性表出；命题2：有r个线性无关，任意r+1个则相关；判断是最大无关组：任意“n个”“线性无关”的“n维向量”都是的最大无关组。和矩阵的秩类似：有r阶子式≠0，任意r+1阶子式＝0.

7组(I)无关，组(I)可由(II)表出，则组(I)的个数组(II)的个数。关于向量空间和子空间:基，维数。

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11P

12此方法对很多问题都有效：方法类似：P

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14一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩三、向量空间的判定四、基础解系的证法五、解向量的证法典型例题

15研究这类问题一般有两个方法方法1从定义出发整理得线性方程组一、向量组线性关系的判定

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17方法２利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定

18例１研究下列向量组的线性相关性解一

19整理得到

20解二

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22分析

23证明

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25证明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本方法就是：分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系．

26证明

27求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求，这个矩阵是由这组向量为列向量所排成的．二、求向量组的秩

28解

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31判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合是否对于加法和数乘两种运算封闭．若封闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空间．解三、向量空间的判定

32例６证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系．四、基础解系的证法分析(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示．(1)该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；要证明某一向量组是方程组的基础解系，需要证明三个结论:

33五、解向量的证法

34证明

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37第四章测试题一、填空题(每小题5分，共40分)．

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40四、向量组线性无关,问常数满足什么条件时,向量组线性无关．