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第四节函数的导数与微分的应用
当很小时,得近似等式:……(1)……(2)……(3)一、近似计算与误差估计(一)近似计算
的近似值.解:设例1.求
在(3)式很小)证明:令代入(4)式得常用近似公式:特别当很小时,……(4)(类似可得)
的近似值.解:例2.计算
误差估计01某量的精确值为x,02其近似值为xo,03称为xo的绝对误差04称为xo的相对误差05若06称为测量x的绝对误差限07称为测量x的相对误差限08
误差传递公式:已知测量误差限为计算y值时的误差相对误差限约为按公式故y的绝对误差限约为若直接测量某量得x0,
二、洛必达法则函数之商的极限导数之商的极限转化(或型)研究思路:未定式(未定型或不定型):
(1)型存在(或为)定理2.7(洛必达法则)则设f(x),g(x)满足:
洛必达法则注1.定理1中换为下列过程之一:注3.若条件,则注2.使用洛必达法则时,验证3个条件;
例3.求解:原式洛
例4.求解:原式注意:不是未定式不能用洛必达法则!洛洛
例5.求解:原式洛
型存在(或为∞)定理2.8(洛必达法则)则设f(x),g(x)满足:
例6.求解:原式=洛洛例7.求解:洛
(3)其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例8.求解:原式
解:原式例9.求通分转化取倒数转化取对数转化洛
例10.求解:通分转化取倒数转化取对数转化洛
三、函数单调性、凹凸性、极值与最值若在(a,b)内定理2.9设函数[a,b]内单调递增(递减).在[a,b]内连续,(1)单调性在(a,b)可导,则函数f(x)在
例11.确定函数01的单调区间.02解:03令04得05故06的单调增区间为07的单调减区间为08
例12.当x0时,试证证:设故[0,+∞)上f(x)是单调增加,
则称为的驻点。在其中当时,(1)则称为的极大值点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小值点,称为函数的极小值。极大值点与极小值点统称为极值点。(2)极值若定义:定义2.8
例如,注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)1)函数的极值是函数的局部性质.为极大值点,是极大值是极小值为极小值点,函数(必要条件)
且在x0的某去心邻域内可导,“左正右负”“左负右正”时,当而当时,时,当而当时,若在点x0的某去心邻域内,定理2.10(极值第一判别法)
求极值的步骤:与不可导点(可疑极值点);
例13.求函数的极值.解:驻点附近的符号变化的情况:因此无极值极大值极小值
定理2.11(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值。
例14.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.
(3)最大值与最小值则f(x)在最值出现在:驻点、不可导点、区间端点。求函数最值的方法:1)求在内的驻点和不可导点2)最大值最小值闭区间[a,b]上必有最大值和最小值。定理:
例15.解:(1)求导求驻点、不可导点:驻点为不可导点为
计算这些点的函数值,求最大值和最小值:
例16.肌肉或皮下注射后,血中药物的浓度与时间问t为何值时,血中药物浓度达最大值。的关系是解:令(唯一驻点)因此当t=t0时,血中药物浓度达最大值。
四、曲线的凹凸性定义2.9设函数01在区间I上连续,若对02若对有03则称函数图形在此区间上是凹的,如下左图;04若对有05则称函数图形在此区间上是凸的,如下右图;06
定理2.12(凹凸判定法)(1)在I内则f(x)在I内图形是凹的;(2)在I内则f(x)在I内图形是凸的。设函数在区间I上有二阶导数定义2.10函数的凹凸分界点称为拐点。拐点证明略(可从斜率的大小变化来理解)
例17.求曲线对应的凹凸区间及拐点。解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点。凹凹凸
本节内容总结一、近似计算与误差估计二、洛
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