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流体力学之伯努利方程

伯努利方程，是流体力学的一大构成部分。

首先，什么是阻力?

阻力，是阻碍物体前进的动力，不管是气体还是液体，都有两个常量，一个是粘滞性，一个是压力。粘滞性是在物体前方的限制运动的阻力，压力是在物体前后左右的限制运动的压力。通常，只有一个常量在起作用

什么是流体

流体是可以流动的液体和液体。理想流体就是没有粘滞性的和不可压缩的液体和气体。

什么是稳定流动

那么，稳定流动是什么。稳定流动的意思每一个地方的流速都不跟随时间而变化。简而言之，意思就是液体和气体的供给量不变，虽然各个地方的流速因为横截面积的变化可能变得不同。?

什么是连续性原理

那么，要讲到伯努利方程，我们先要学习的是什么是连续性原理。因为在一个流管不同的地方流动量是一样的，所以横截面积乘速度，也就是流量，是一个常量

流体力学中的伯努利方程是一个比较基本、但非常重要的流体力学公式，它也是能量守恒的一种表现形式。在中学中我们经常会用到机械能守恒，也就是物体的动能和势能的总和保持不变。其实机械能守恒也是有假设的前提条件的，大概就是说只有重力或者弹力做功，其他力不做功或者做无用功。伯努利方程也类似，也有假设条件，不过我们可以先看看它的基本表达式。

其中，P为流体中某点的压强；ρ为流体在该点的流速；g为重力加速度；h为该点所在的高度；C是一个常量。?????等式左边的三项分别代表了由压强作用产生的压力势能（静压能）、由流体流动产生的动能、由重力作用产生的重力势能。???因此，伯努利方程的物理意义可表示为：沿流线流体质点的动能、压能、势能之和保持为常数。这也是一种机械能守恒。它的假设前提条件是：

（1）流动是定常流动，且质量力只有重力，意味着流体中任何一点的压力、速度和密度等物理量都不随时间变化。（2）流动是无粘性的，意味着由流体粘度引起的剪切力可以忽略不计。这个假设是必要的，因为粘度会导致流体一部分能量的耗散，例如管道的沿程损失也是一种由粘度引起的能量损耗。（3）流体是不可压缩的，通常使用于液体。

这其实和中学学的机械能守恒的假设条件也大差不差，没有摩擦力，也没有其他外力，动能和势能之和为常数，只不过流体的伯努利方程多了个静压能。

如果没有摩擦阻力，小球可以永远在平板上做匀速直线运动，流体一直可以在直管中无损流动，永不停歇。当然这是不可能的，小球会停下，流体流动也会有能量耗散，运动终将终结。

???当然，现实就是有能量损耗的，流动液体因为有粘性，所以流动过程中会产生摩擦力，具有能量损失；管道尺寸和形状变化都会使液流产生扰动，也引起能量损失；实际流动液体在过流断面上流速不均匀，若用平均流速计算，必然会产生误差，需要加一个修正系数。???因此，实际液体的伯努利方程为：

其中，α1、α2为动能修正系数，一般在紊流时取?α＝1，层流时取α＝2；ΔPw为单位体积液体在两过流断面间流动的能量损失。???实际上，伯努利方程还有些水头形式的表达式，就是左右等式两边除以ρg，还有的表达式是等式两边除以ρ，我都不喜欢用，就不列了。

???伯努利方程比较常用的点就是：对于水平流动，速度的增加必然伴随着压力的降低。即流速越大，压强越小；流速越小，压强越大。可以解释一些生活中的现象：高铁和地铁站台的安全线?、船吸现象、刮风时掀翻屋顶等。

质量为的流体（后文表示为流体）初始位于AB，经过的时间后，运动至A’B’。

以位于的流体为研究对象，对其进行受力分析。

流体受到如下的力：

1、地球对其施加的重力

2、端左侧流体对其施加的压力FA，等于端流体的压强PA乘以该处流管的截面积SA；

3、端右侧流体对其施加的压力FB，等于B端流体的压强PB乘以该处流管的截面积SB

4、流管AB对其施加的压力

流体M位于AB时的机械能为EAB，流体M位于A’B’时的机械能为EA’B’。

在流体M从AB运动至A’B的过程中：

流体M的机械能增量EA’B’-EAB。

左侧压力对流体M所做的功为WL，右侧压力对流体M所做的功为WR。

流管管壁的压力时刻垂直于流速，因此对流体M不做功。

功能定理是指质点系机械能的增量等于外力所做功和非保守内力所做功之和。

对流体M运用该定理，则有

先处理等式的左边

流体M于AB的机械能等于流体的机械能AA’与流体的机械能之和，流体M于A’B’的机械能等于流体A’B的机械能与流体BB’的机械能之和，即

两式相减，有

流体BB’、AA’的机械能均为动能与重力势能之和。设A处的流速为VA，B处的流速为VB，流体AA’的质量为dm，体积为dv，那么根据流体BB’的连续性原理，流体的质量也为dm，体积也为dv，因此有

两式相减，有

于是有

再处理等式的右边

设A处流体压强为PA，流管截面积为SA；处流体压强为PB，流管截面积为SB。AA’间的距离为d