2025上海市高考数学真题试卷+解析及答案.docxVIP

2025上海市高考数学练习题试卷+解析及答案

一、选择题（每题5分，共40分）

1.已知函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}$，则$f(x)$的取值范围是（）

A.$[0,+\infty)$

B.$(\infty,+\infty)$

C.$(\infty,0]$

D.$[0,+\infty)$

解析：由于$f(x)$的定义域为全体实数，且$f(x)=\sqrt{1+(x)^2}=\sqrt{1+x^2}=f(x)$，所以$f(x)$的取值范围与$f(x)$相同，即为$[0,+\infty)$。

答案：A

2.若直线$y=kx+1$与圆$x^2+y^2=1$相切，则实数$k$的取值范围是（）

A.$(1,1)$

B.$[1,1]$

C.$(\infty,+\infty)$

D.$\{1,1\}$

解析：圆心为$(0,0)$，半径$r=1$。直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即$\frac{|k\cdot0+0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，解得$k=\pm1$。

答案：D

3.设$a,b$为实数，且$a+b=2$，则$a^2+b^2$的最小值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：由$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$，得$a^2+b^2=(a+b)^22ab=42ab$。由基本不等式$ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=1$，得$42ab\geq42=2$。当$a=b=1$时，取等号。

答案：B

4.已知函数$f(x)=x^33x$，则$f(x)$的单调增区间是（）

A.$(\infty,1)$

B.$(1,1)$

C.$(1,+\infty)$

D.$(\infty,+\infty)$

解析：求导得$f(x)=3x^23$。令$f(x)0$，解得$x1$或$x1$。故$f(x)$的单调增区间为$(\infty,1)$和$(1,+\infty)$。

答案：A

5.若函数$g(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$，则$g\left(\frac{1}{x}\right)$的最小值是（）

A.0

B.1

C.$\ln2$

D.$\ln\sqrt{2}$

解析：$g\left(\frac{1}{x}\right)=\ln\left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right)$。令$t=\frac{1}{x}$，则$g(t)=\ln(t+\sqrt{t^2+1})$。$g(t)$在$t\geq0$时单调增，所以$g\left(\frac{1}{x}\right)$的最小值为$g(1)=\ln(\sqrt{2})$。

答案：D

6.已知$a,b$为实数，且$a^2+b^2=1$，则$\max\{a+b,ab\}$的取值范围是（）

A.$[0,2]$

B.$[2,2]$

C.$[1,1]$

D.$[0,1]$

解析：由$a^2+b^2=1$，得$(a+b)^2+(ab)^2=2(a^2+b^2)=2$。故$\max\{a+b,ab\}=\sqrt{\frac{1}{2}(a+b)^2+\frac{1}{2}(ab)^2}\leq\sqrt{1}=1$，且$\max\{a+b,ab\}\geq0$。

答案：D

7.若函数$f(x)=x^2+mx+n$（$m,n$为实数）有两个实数根，且一根大于0，一根小于0，则$m^24n$的取值范围是（）

A.$(\infty,0)$

B.$(0,+\infty)$

C.$(\infty,4]$

D.$[0,4]$

解析：由题意知$f(x)$的判别式$\Delta=m^24n0$。又因为$f(x)$的两根异号，所以$f(0)=n0$。故$m^24n4$。

答案：B

8.已知函数$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$（$a,b,c,d$为实数，$adbc\neq0$），则$f(x)$的反函数是（）

A.$y=\frac{dxb}{cx+a}$

B.$y=\frac{dxb}{cxa}$

C.$y=\frac{dx+b}{cx+a}$

D.$y=\frac{dx+b}{cxa}$

解析：令$y=\frac{ax+b}{cx+d}$，解得$x=\frac{dyb}{cy+a}$。交换$x$和$y$的位置，得反函数为$y=\frac{dxb}{cx+a}$。

答案：A

二、填空题（每题5分，共40分）

9.若函数$f(x)=\frac{1}{xa}$（$a\neq0$）在区间$(0,+\infty)$上单调递减，则实数$a$的取值范围是___