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可解释的梯度下降法用于卡尔曼增益

∗†

M.A.BelabbasandA.Olshevsky

2025年7月24日

摘要

本我们推导出线性时不变系统中滤波增益的创新损失梯度的一个分解，该分解为一个

译可观察格拉姆矩阵与量化估计误差和创新之间“非正交性”的项的乘积。我们利用这一

中分解来给出梯度下降收敛到最优卡尔曼增益的证明，并具体识别出卡尔曼增益的恢复如

何依赖于一个非常规的可观测条件，同时获得了一个可解释的几何收敛率。

2

v

4

51介绍

3

4

1虽然线性时不变系统的最优卡尔曼增益可以从代数黎卡提方程以闭式形式获得，基于

.

7梯度的策略用于计算卡尔曼增益仍因以下两个主要理由而引人关注。首先，在时变或自适应

0

5滤波环境中，增量梯度更新允许持续修正增益，因此滤波器可以响应系统动态的变化而不必

2反复求解完整的黎卡提方程。其次，当系统模型仅部分已知或完全未知但测量数据继续到达

:

v

i时，可以使用随机梯度方法直接以数据驱动的方式识别增益。

x

r我们采用创新的期望均方幅度——即一步预测误差——作为梯度下降的成本，这个量

a

我们称之为创新损失。这是衡量滤波器性能最直接的方法，并且由于它仅依赖于可观测数

据，因此即使真实状态未知时也保持定义良好。

分析创新损失上的梯度下降问题，据我们所知，此前只在[5]中被考虑过。一种一�前

瞻形式的卡尔曼滤波器在[5]中被考虑，并且证明了，在底层系统可观测的情况下，梯度下

降及其随机变体收敛到卡尔曼增益。一篇紧密相关的论文[3]考虑了一个稍微不同的成本函

数，使用了创新的一�前瞻，并且也得到了收敛到卡尔曼增益的结果。

还存在大量关于使用梯度下降计算LQR最优增益的相关问题的平行文献（例如，[2,1,

4,6]）。然而，正如[5]中解释的那样，尽管这里在可控性和可观测性之间存在一定形式的对

∗UniversityofIllinoisatUrbana-Champaign,belabbas@illinois.edu.

†BostonUniversity,alexols@bu.edu.

Authorsnamesareorderedalphabetically.

1

偶关系，但通常不能从对应的LQR结果推导出卡尔曼增益的结果，因为关键的非奇异性假

设在转换过程中没有被保持。

在这篇论文中，我们考虑使用梯度下降来恢复标准形式下的卡尔曼滤波。与[5]不同的

是，我们展示了如果只假设底层系统的可观测性，则确实存在虚假的稳定点。我们的分析起

点是一个新的观察结果，即创新损失的梯度是可观测性Gramian和一个衡量正交原则违反

程度的项的乘积。基于这种分解，我们给出了一种稍微非标准的可观测性条件，该条件排除

了稳定点，并确保梯度下降以几何速率收敛到卡尔曼增益。最后，我们展示了这个速率是可

以解释的，它是两个项的乘积：一个衡量轨迹接近失去可观测性的程度，另一个衡量违反正

交原则的程度迫使创新损失上升的速度。

2问题陈述

我们考虑一个由状态空间方程描述的离散时间线性时不变系统

(1)