渐近最优的 t 设计曲线在 S3 上-计算机科学-机器学习-算法.pdf

渐近最优的设计曲线在上

AYODEJILINDBLAD

摘要.球面-设计曲线被Ehler和Gröchenig定义为球面上的一个连续、

分段光滑的闭合曲线，具有有限个自交点，其相关线积分对任意最多次

多项式求值等于该多项式在球面上的平均值。这些作者提出了证明存在序

列的问题，这些序列是定义在上的-设计曲线，并且长度渐近

本最优为，当时，并解决了这个问题对于的情况。

译本工作通过证明存在一个常数，使得对于任意的和，

中都存在一条简单的-设计曲线在上长度为，从而解决了的

问题。

2

v

4

41.背景和主要结果

0

4定义1.1(定义2.1（Ehler和Gröchenig）[6]).对于任何

0

.和，具有有限数量自交点的连续、分段光滑、闭合曲线

8

0被称为设计曲线，如果

4

2

:

v

i

x

r对于所有在空间中的，该空间是限制在上的上多项式的

a

限制，其度数最多为，其中是的长度，而是上

的标准均匀测度。

-设计曲线的引入是由于曲线在球体[6,Section1]上的数据分析中得到了

广泛应用。这些对象是经过充分研究的[1]离散对象球面-设计的自然类似

物——球上的有限点集，它们提供求积或求积法规则，精确地平均多项式

——由Delsarte、Goethals和Seidel[5]提出。最优渐近阶的大小为一个-

设计在上作为被Delsarte、Goethals和Seidel所展示—他们注意

到正边形的顶点给出了一个在[5,Example5.1.4]上的-设计—为

当时，而对于是一个长期未解决的问题，直到Bondarenko、

Radchenko和Viazovska证明了由Delsarte、Goethals和Seidel所证明的此