2026人教A版高考数学一轮复习：三角函数模型及解三角形的实际应用（含解析）.pdfVIP

第9节三角函数模型及解三角形的实际应用

考试要求1.会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构刻画事

物周期变化的数学模型.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些

与测量和几何计算有关的实际问题.

■知识

【知识梳理】

1.仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰

角，目标视线在水平视线下方叫俯角如（图1）.

2.方位角

从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方

位角为a如（图2）.

3.方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30。，北偏西45。等.

4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

常［用结论与微点提醒］

1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.

2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余

弦定理求解.

【诊断自测】

1.思考辨析在（括号内打“♦”或“X”）

1（）东北方向就是北偏东45。的方向.（）

2（）从A处望3处的仰角为a,从5处望A处的俯角为夕，则a,4的关系为a+

£=180°.（）

⑶俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[o,手.()

(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关

系.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)V

解析Q)a=B;

⑶俯角是视线与水平线所构成的角.

2.如图，在高速公路设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端

的两点A,3到点C的距离AC=3C=1km,且C=120。，则A,3两点间的距离

为km.

答案小

解析在△ABC中，易得A=3O。，

由正弦正理而下一前

得AB*：；%*1X坐=小km.

3.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45。，在塔底D的南偏东60°

的3处测得塔顶的仰角为30。，A,3间的距离是84m,则塔高CD=m.

答案12小

解析设塔高CD=m,

则AD=xm,DB=\[3xm.

由题意得ZADB=90°+60°=150°,

在△A3。中，利用余弦定理得

842+於国)2—2小.fcos150。，

解得％=12由负（值舍去）,

故塔高为12巾m.

4.必（修一P241T6改编）某时钟的秒针端点A到中心点。的距离为5cm,秒针绕

点。匀速旋转，当时间。=0时，点A与钟面上标12的点3重合，将A,3两点

间的距离或单位：cm）表示成/单（位：s）的函数，则d=i,fG[O,60].

答案lOsin者/

解析如图，设NA03=a,

H.I2兀、/兀

则。=而又片4,

匕匕2__兀

所以]=而/,

b立u,ad

因为5sin2=29

njr

所以d=10sin丁lOsin前,00,60],

■考点聚焦突破

考点一三角函数模型

例1多（选）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心。距离水面2米，已知水

轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点Po）开始计时,

则（）

A.点P第一次到达最高点需要20秒

B.当水轮转动155秒时，点P距水面2米

C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距水面2米

D