2026人教A版高考数学一轮复习：平面向量的数量积及其应用（含解析）.pdfVIP

第3节平面向量的数量积及其应用

考试要求1.理解平面向量数量积的含义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的

关系.3.掌握数量积的坐表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积

表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方

法解决某些简单的平面几何问题.

■知识

【知识梳理】

1.平面向量数量积的有关概念

⑴向量的夹角：已知两个非零向量a和。，。是平面上的任意一点，作为=a,OB

=b,则NAO3=e(0WeW7i)叫做向量a与8的夹角.

⑵数量积的定义：已知两个非零向量a与从它们的夹角为0,我们把数量

laMIcs。叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a•瓦即a-/=|a||例cs。.规定:

零向量与任一向量的数量积为0,即0以=0.

(3)投影向量

如图，在平面内任取一点。，作m=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线，垂

足为Mi,则函就是向量a在向量上的投影向量.

设与8方向相同的单位向量为e,a与力的夹角为仇则而1与e,a,。之间的关

系为苏Ti=|a|csde.

2.平面向量数量积的性质及其坐表示

设向量a=(xi,yi),b=(x2,yi),。为向量a,8的夹角.

(1)数量积:a-b=\a\\b\cos0=x\xi+y\y2.

⑵模：\a\=-\[cra=ylxl+yl.

,八abxiX2-\~yiy2

⑶夹角：cos0=-=-p^-pp=|.

(4)两非零向量a_L/的充要条件：rrZ=0=xix2+yiy2=0.

(5)|a0|W|a||A|(当且仅当a//b时等号成立)Qlxa+wlW《%?+冗々必+式.

3.平面向量数量积的运算律

(1)4历(交换律).

(2)M=^ab)=0(劝)(结合律).

(3)(4+6)P=℃+》4(分配律).

4.平面几何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

常［用结论与微点提醒］

1.有关向量夹角的两个结论

已知向量a,b

(1)若a与8的夹角为锐角，则a协0；

若ab0,则a与8的夹角为锐角或0.

(2)若a与8的夹角为钝角，则a仍0；

若a仍0,则a与万的夹角为钝角或兀.

2.平面向量数量积运算的常用公式

22

(l)(a+Z)(a-6)=a—Z；

222

(2)(a+)=a+2a-Z»+Z；

222

(3)(a—b)=a—2ab+b.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

71

⑴两个向量的夹角的范围是o［，］).()

(2)向量a与〃夹角为仇a在〃上的投影向量为(|a|cos喘()

⑶两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向

M.()

(4)若aZ=a-c(a#O),则8=c.()

答案(1)X(2)V(3)V(4)X

解析(1)两个向量夹角的范围是[0,71].

(4)由a0=a-c(aW0)得|a||四.cos{a,b)—|o||c|-cos{a,c〉，所以向量Z＞和c不一

定相等.

2.(必修二P34例11改编设a=(5,-7,b=(~6,—4,设a,8的夹角为仇

则cos0=

宏安—恒

口木962

缶aa-b-30+28_由直

斛析3。_丽_加＞＜痘_-962-

3.