2026人教A版高考数学一轮复习：三角形高线、中线、角平分线的计算（含解析）.pdfVIP

第二课时三角形高线、中线、角平分线的计算

■考点聚焦突破

考点一三角形的高线

例1(2023•新高考I卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-Q=sinB.

(1)求sinA；

(2)设AB=5,求A3边上的高

解法一(1)在△ABC中，A+3=7T—C,

因为A+B=3C,

7T

所以3C=?i—C,所以C=1.

因为2sin(A—C)=sin3,

所以2sin(A一春=sin存一A),

展开并整理得

厂也

yj2(sinA—cosA)=1(cosA+sinA),

得sinA=3cosA,

又sin2A+cos2A=1,且sinA0,

所以sinA=噂

⑵由正弦定理第=黑，

得8C=黑，sinA=^X唔^=3返

2

由余弦定理432=402+302—2AC5CCSC,

2

整理得AC-3V10AC+20=0,

解得AC=①或AC=2y[ld.

由⑴得，tanA=3小，所以*人4,

3兀兀

又A+B=丁，所以3不即C3,

所以ABAC,所以AC=2，T5.

设A3边上的高为h,

则力=T，ACBCsinC,

即5k=25X3小X*,解得人=6,

所以A3边上的高为6.

法二1（）在△ABC中，A+B=TI-C,

因为A+3=3C,

7T

所以3C=兀-C,所以。=不

因为2sin(A—C)=sinB,

所以2sin(A—Q=sin[7i—(A+Q]=sin(A+Q,

所以2sinAcos。一2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC=3cosAsinC,

易得cosAcosCZ,

71

所以tanA=3tanC=3tan4=3,

-sinAo।0

2

又sinA0,tanA=T,sin%+cosA=1,

COSA

grp,..3^15

所以smA=；o.

(2)由⑴知tanA=30,所以A为锐角，

r..3Vlb仆.VTo

又sinA—J。,所以cosA—J。，

所以sin3=sin[^—A)=^(cosA+sinA)

_V2f^/10,3y[i0]_2y[5

-2110+10)5-

由正弦定理黑=燕，

5菩

ABsinB

得AC=

sinC

2

故A3边上的高为ACsinA=2«