工程电磁场第六章电磁场的边值问题.pptVIP

*如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分离变量法。下面通过例子具体说明该方法。例求如图所示二维长方形内的电位函数。解：根据题意，所求区域的电位函数满足的方程及边界条件为xayb*只与x有关只与y有关在直角坐标系中方程可写为（二维问题，与z无关）★分离变量法的前提即假设待求函数有分离变量形式的解：上式两端同除以因此该式成立的条件：且●为实数为虚数为虚数为实数●为零为零●为实数为虚数为零或*同样的讨论适用于函数。为满足x=0和x=a的边界条件，应选取则因为将边界条件将边界条件于是称为边值问题的本征值。它的意义是：在上述边界条件下，分离常数只有取这些特定值时，方程才有非零解。其解的函数形式称为本征函数。*对于因为将边界条件于是得由于故的一般形式将边界条件这实际上是将一已知函数展为傅里叶级数。利用傅里叶级数的系数公式得原问题的解*3有限差分法图3.1差分网格3.1差分表示式*二维泊松方程的差分格式

(DifferenceFormof2DPoisson’sEquation)（1）二维静电场边值问题基本思想：将场域离散为许多网格，应用差分原理，将求解连续函数的微分方程问题转换为求解网格节点上的代数方程组的问题。（2）有限差分的网格分割*令h=x-x0，将x=x1和x3分别代入式(3)（3）由式（4）+（5）（7）同理,沿x方向在x0处的泰勒公式展开为下页上页返回（4）（5）（6）*将式(6)、式(7)代入式(1)，得到当场域中即即五点差分格式下页上页返回*上式表明，任一点的电位等于它周围四个点电位的平均值。显然，当h越小，计算越精确。如果待求N个点的电位，就需解含有N个方程的线性方程组。若点的数目较多，用迭代法较为方便。*矩形网格剖分若场域离散为矩形网格，差分格式为*3.2边界条件离散化（DiscreteBoundaryCondition)第二类边界条件第一类边界条件分界面衔接条件对称边界条件其中介质分界面对称分界*3.3差分方程的数值解法1.简单迭代法图3.2节点序号*2.塞德尔(Seidel)迭代法通常为节约计算时间，对简单迭代法要进行改进，每当算出一个节点的高一次的近似值，就立即用它参与其它节点的差分方程迭代，这种迭代法叫做塞德尔(Seidel)迭代法。塞德尔迭代法的表达式为此式也称为异步迭代法。由于更新值的提前使用，异步迭代法比简单迭代法收敛速度加快一倍左右，存储量也小。*3.超松驰迭代法式中α称为松弛因子，其值介于1和2之间。当其值为1时，超松弛迭代法就蜕变为塞德尔(Seidel)迭代法。因子α的选取一般只能依经验进行。但是对矩形区域，当M、N都很大时，可以由如下公式计算最佳收敛因子α0:*边界节点赋已知电位值赋节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求打印NY程序框图*例设如图所示的矩形截面的长导体槽，宽为4h，高为3h，顶板与两侧绝缘，顶板的电位为10V，其余的电位为零，求槽内各点的电位。*解：将待求的区域分为12个边长为h的正方形网格，含六个内点，得出差分方程组：*解以上方程组，得*简单迭代法12345600.00.00.00.00.00.012.50.02.50.02.50.023.1250.6253.750.6253.1250.625…104.14351.53635.06982.02424.14351.5363114.15151.54195.07780.03564.15151.5419*超松弛迭代法(α=1.2)*松弛因子的影响********本章结束**第六章电磁场的边值问题*一、麦克斯韦方程组*1、①四个方程