2026版创新设计高考总复习数学人教A版教师用-第3节 成对数据的统计分析.docxVIP

第3节成对数据的统计分析

课标要求1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解一元线性回归模型和2×2列联表,会运用这些方法解决简单的实际问题.

【知识梳理】

1.变量的相关关系

(1)相关关系的分类:正相关和负相关.

(2)线性相关:一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.

一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.

2.样本相关系数

(1)相关系数r的计算

变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如:r=n∑

(2)相关系数r的性质

①当r0时,称成对样本数据正相关;当r0时,成对样本数据负相关;当r=0时,成对样本数据间没有线性相关关系.

②样本相关系数r的取值范围为[-1,1].

当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强;

当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱.

3.一元线性回归模型

(1)我们将y=bx+a称为Y关于x的经验回归方程,其中

b

(2)决定系数

R2=1-n∑i=1(yi-yi)2n∑i=1

4.列联表与独立性检验

(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表

X

Y

合计

Y=0

Y=1

X=0

a

b

a+b

X=1

c

d

c+d

合计

a+c

b+d

n=a+b+c+d

记n=a+b+c+d,则随机变量χ2=n(

(2)独立性检验

基于小概率值α的检验规则是:

当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;

当χ2xα时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立.

下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

α

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

xα

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

[常用结论与微点提醒]

1.求解经验回归方程的关键是确定回归系数a,b,应充分利用回归直线过样本点的中心(x,y).

2.根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度,若χ2越大,则两个分类变量有关的把握越大.

3.回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断,得出的结论都可能犯错误.

【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)散点图无法判断两个变量是否相关.()

(2)通过经验回归方程y=bx+a可以估计预报变量的取值和变化趋势.()

(3)只有两个变量有相关关系,所得到的回归模型才有预测价值.()

(4)事件X,Y关系越密切,则由观测数据计算得到的χ2的值越小.()

答案(1)×(2)√(3)√(4)×

解析(1)散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段.

(4)χ2的值越大,相关性越强,关系越密切.

2.(人教B选修二P121T3原题)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是()

A.x与y负相关,x与z负相关

B.x与y正相关,x与z正相关

C.x与y正相关,x与z负相关

D.x与y负相关,x与z正相关

答案A

解析因为-0.10,所以x与y负相关,

又因为变量y与z正相关,所以x与z负相关.

3.(苏教选修二P169T1改编)某小吃店的日盈利y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:℃)之间有如下数据:

x/℃

-2

-1

0

1

2

y/百元

5

4

2

2

1

甲、乙、丙3位同学对上述数据进行了分析,发现y与x之间具有线性相关关系,下列回归方程正确的是()

A.y=-x+2.8 B.y=-x+3

C.y=-1.2x+2.6 D.y=x-0.8

答案A

解析计算得x=15(-2-1+0+1+2)=0

y=15(5+4+2+2+1)=2.8

回归直线必过(0,2.8),故只有A项满足.

4.(人教A选修三P139T3改编)根据分类变量x与y的观测数据,计算得到χ2=3.974.依据α=0.05的独立性检验,结论为x与y(填独立、不独立),这个结论犯错误的概率不超过.?

附:

α

0.050

0.010

0.001

xα

3.841

6.635

10.828

答案不独立0.05

解析因为3.9743.841,所以假设不成立,即认为x,y不独立,

这个结论犯错误的概率不超过0.05.

考点一成对数据的相关性

例1(1)(2024·上海卷)已知沿海地区气温和海水表层温度相关,且样本相关系数为正数,对此描述正确的是()

A.沿海地区气温高,海水表层温度就高

B.沿海地区气温高,海水表层温度就低

C.随着沿海地区气温由低到高,海水表层温度呈上升趋势

D.随着沿海地区气温由低到高,海水表层温度