于将矩阵分解为正定矩阵乘积的问题-计算机科学-机器学习-矩阵分解-梯度流控制-算法.pdfVIP

关于将矩阵分解为正定矩阵乘积的问题

MahmoudAbdelgalilandTryphonT.Georgiou

Abstract

本工作重新审视并提供了一种新的方法来处理查尔斯·巴兰廷特（CharlesBallantine）关于

将具有正行列式的平方矩阵分解为多个正定因子乘积的结果。巴兰廷类型分解，限定正定因

子的数量，在解决一个基本但难以捉摸的控制问题中发挥了核心作用——即通过状态反馈形

本式的控制实现线性系统的强可控性[1]。巴兰廷特的结果超越了控制工程领域，并突显了一个

鲜为人知的事实：旋转可以通过连续应用无旋运动来实现。我们的方法是构造性的，基于最

译优质量传输理论，特别是它将高斯分布的连续旋转与构成所需因子的相应最优传输映射联系

中起来。

1Keywords矩

v

0阵分解，梯度流控制

6

5

21介绍

1

7.想象用彩泥并依次在不同方向施加压缩力。事实上，人们可能在童年玩耍时就体验过，在手中不旋转整

0块彩泥的情况下，彩泥上的标记可能会改变位置。这正是本工作的核心主题——如何通过连续应用无旋向量

5场来产生旋转。

2我们所说的现象如图1所示，其中显示的椭球体代表了橡皮泥的表面。依次施加沿适当方向具有压缩性

:

v的无旋向量场，最终结果是橡皮泥表面上标记的斑点发生旋转。

i

x我们将该设置数学化，通过将椭球体视为一组位于位置的粒子的中心高斯概率分布的等值线，

r

在维度（一个固定的正整数）下，并将组成粒子的演化建模为在受势向量场影响下的运

a

动，该势向量场可能随时间变化。我们取，即中心化的二次型，其中Sym

表示对称矩阵的空间。在全文中，表示（列）向量的转置。因此，单个粒子的位置遵循

(1)

而粒子分布的协方差，记为Sym，其中Sym表示正定实对称矩阵的空间，服从微分Lyapunov

方程

(2)

我们将等高线的体积固定为常数，等价地，det，通过设定trace。

在我们进行分析之前，我们在维度中通过一个简单的示例展示分段常