2026人教A版高考数学一轮复习：解三角形的综合应用（含解析）.pdfVIP

第三课时解三角形的综合应用

■考点聚焦突破

考点一多边形中的解三角形问题

例12（024•青岛质检）如图，在四边形A3CD中，AB=2AD=4,BD=BC,ZDBC

IT

=2/DAB=0,sin0+cos4.

求：(l)ZkABD的面积；

(2)段AC的长度.

解⑴因为sine+cos6=4，①

7

所以(sin6+cos。)2=诬，

9

所以2sin0cos0=—T70.

io

因为。为△AB。的内角，

所以sin00,cos00.

25

所以(sincos8)2=1—2sinOcos。=讳，

所以sin3—cos.②

联立①②，得sine=^^,cos0=^o~9

OO

所以S^ABD=^ABXADXsin6

1小+5币+5

=^X2X4X^-z—-.

ZoZ

,巾_5+5

(2)由(1)知cos0=―g-,sin0=―—,

由余弦定理，得

2221

BC=BD=AD+AB~2ADXABXcos0

225

=2+4-2X2X4X^~=30-2V7.

设由正弦定理，得祟

2sin6

所以sina—

BD

2sin0

=

所以cosZABC=cosl1~sina=—BD.

在AA5c中，由余弦定理，得

222

AC=AB+BC~2ABBCcosZABC

=16+30—2市一243。］一

=46—2市+16sin。

=46—2市+16x^^=56,

所以AC=2/.

感悟提升平面几何中解三角形问题的求解思路

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余

弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.

训练1如图，在△ABC中，A=y,AC=^2,CD平分NACB交A3于点。，CD

=小.

求：(l)NADC的值；

QABCD的面积.

解(1)在△ADC中，由正弦定理得

ACCD

sinNA。。—sinA

化z.ACXsinA^smT也

所以sinNADC=1•

TT7T

因为0NA£)Cw，所以ZADC=^.

2兀7T7T

(2)由(1)得NAC£)=ZBCD=7i

由题设，B=ZACB=^,

即△ABC为等腰三角形,

所以3C=2XA