函数展开成幂级数教学.pptxVIP

第四节函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数三、小结思考题

一、泰勒级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数问题:1.如果能展开,是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?

证明

泰勒系数是唯一的,01逐项求导任意次,得02泰勒系数03

问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.nnnxnf?￥=0)(!)0(称为)(xf在点00=x的麦克劳林级数.定义

在x=0点任意可导,可见

证明必要性

充分性

证明

0102直接法(泰勒级数法)步骤:二、函数展开成幂级数

由于M的任意性,例101解0203即得04

例2解

例3解

01两边积分02得

牛顿二项式展开式即注意:

双阶乘

间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例如

例4解结如何求函数的泰勒级数;泰勒级数收敛于函数的条件;函数展开成泰勒级数的方法.

01思考题02什么叫幂级数的间接展开法？

思考题解答从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.

练习题

练习题答案