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结构力学之结构动力计算试题及答案

一、概念理解与简答题

1.简述结构动力计算与静力计算的本质区别，并说明动力自由度的定义及其确定方法。

2.单自由度体系自由振动时，若阻尼比分别为0.05、0.5、1.0，其振动形态将如何变化？若阻尼比大于1.0，体系是否会发生振动？

3.多自由度体系的振型正交性指什么？其物理意义是什么？写出质量正交和刚度正交的数学表达式（以两个自由度体系为例）。

4.简谐荷载作用下，单自由度体系的动力系数β与哪些参数相关？当荷载频率θ接近自振频率ω时，β的变化趋势如何？若体系存在阻尼，这种趋势会如何改变？

5.地震作用下，采用振型分解反应谱法计算结构内力时，需满足哪些基本假设？“平方和开平方”（SRSS）组合法则的适用条件是什么？

二、单自由度体系自由振动与受迫振动计算

6.图1所示悬臂梁，长度L=4m，抗弯刚度EI=2×10?kN·m2，梁端有集中质量m=500kg（不计梁自重）。已知体系阻尼比ξ=0.05，初始时刻给质量块一个向下的初位移y?=20mm和初速度v?=0.5m/s。

（1）计算体系的自振周期T和阻尼振动周期T_D；

（2）写出质量块的位移响应表达式y(t)；

（3）求经过2个阻尼振动周期后，质量块的位移幅值衰减为初始幅值的多少倍？（取e≈2.718）

（图1：悬臂梁固定端在左侧，自由端悬挂质量m）

7.图2所示简支梁跨中受简谐荷载F(t)=F?sinθt作用，F?=10kN，θ=20rad/s。梁的跨度l=6m，EI=3×10?kN·m2，跨中集中质量m=800kg（不计梁自重）。

（1）计算体系的自振频率ω；

（2）若体系无阻尼，求跨中最大动位移和最大动弯矩；

（3）若体系阻尼比ξ=0.03，求跨中动位移的稳态响应表达式，并计算最大动位移。

（图2：简支梁两端固定，跨中质量m受简谐荷载）

三、多自由度体系自振频率与振型计算

8.图3所示两层剪切型框架，各层质量分别为m?=2m，m?=m（m=1000kg），各层侧移刚度分别为k?=4×10?N/m，k?=2×10?N/m（侧移刚度指该层产生单位水平位移所需的水平力）。

（1）建立体系的运动方程（用刚度法）；

（2）计算自振频率ω?、ω?（保留两位小数）；

（3）计算第一振型和第二振型的振型向量；

（4）验证振型的质量正交性。

（图3：两层框架，底层质量m?，侧移刚度k?；二层质量m?，侧移刚度k?，水平振动）

四、地震作用下结构动力响应计算

9.某三层框架结构简化为三个自由度体系（图4），各层质量m?=m?=m?=1500kg，各层层间侧移刚度k?=k?=k?=5×10?N/m。场地类别为II类，设计地震分组为第一组，设防烈度8度（0.2g），特征周期T_g=0.35s。

（1）计算体系的自振频率ω?、ω?、ω?（提示：三层剪切型框架的自振频率满足ω2=λk/m，其中λ为特征值，可通过求解频率方程得到）；

（2）计算各阶振型的振型参与系数γ_j；

（3）采用振型分解反应谱法计算各楼层的水平地震作用标准值（按前两阶振型组合，地震影响系数α_j按规范公式α_j=(η?(0.45+5ξ))(T_g/T_j)^γα_max，假设阻尼比ξ=0.05，η?=1.0，γ=0.9）；

（4）说明为何通常只需考虑前几阶振型组合即可得到足够精度的结果。

（图4：三层框架，各层质量m?、m?、m?，层间刚度k?、k?、k?）

答案与解析

1.结构动力计算与静力计算的本质区别

静力计算中，荷载不随时间变化（或变化缓慢），惯性力和阻尼力可忽略，结构处于平衡状态，内力和位移仅由静力荷载决定；动力计算中，荷载（或结构运动）随时间显著变化，需考虑惯性力（与加速度相关）和阻尼力（与速度相关）的影响，运动方程为微分方程，内力和位移是时间的函数。

动力自由度指确定结构在动力反应中所有质量位置所需的独立几何参数数量。确定方法：忽略受弯杆件的轴向变形和剪切变形（仅考虑弯曲变形），将连续分布质量集中为有限个质点，每个质点的独立位移方向即为动力自由度。例如，单层刚架水平振动时，若忽略柱的轴向变形，仅需一个水平位移参数，故为1个自由度；两层刚架水平振动时，需两个水平位移参数（各层水平位移），故为2个自由度。

2.阻尼比与振动形态的关系

（1）ξ=0.05（小阻尼）：体系做衰减振动，振幅按指数规律衰减，振动频率略小于无阻尼自振频率；

（2）ξ=0.5（欠阻尼，ξ1）：仍为衰减振动，但衰减速率比ξ=0.05快；

（3）ξ=1.0（临界阻尼）：体系不发生振动，质点从初始位置逐渐回到平衡位置，无振荡；

（4）ξ1.0（过