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第2节函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数上节例题给定函数，是否存在幂级数，使其在收敛域内以为和函数？即解决的是已知幂级数，求其和函数。若若这样的幂级数存在，则称可以展开成幂级数。
，则若若上式中的趋向于无穷，则我们得到一个幂级数：（1）时称（1）为的麦克劳林级数。（1）式称为函数在的泰勒级数。当
在x=0点任意阶可导,可见
证明设则
其中从而有所以证毕。DCAB
注：Taylor展开式是唯一的。泰勒系数是唯一的,若逐项求导任意次,得
定理2如果存在常数,使得对中的所有及一切自然数,都有则在内可展开为泰勒级数.
二、函数展开成幂级数LOGO直接法(泰勒级数法)步骤:
几个常见函数的麦克劳林级数例1解容易证明
例2解所以
例3解
两边积分得
牛顿二项展开式注意:即
双阶乘
2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例如
例4解级数。(书）因为
所以
例5解
例6解
故于是
例7将展开成麦克劳林级数。解由求两次导数得所以
例8(060107)将函数展开成的幂级数.解令
例9求幂级数的收敛域及和函数。解因为所以收敛区间为又因为所以
三、欧拉公式由定义其中称为欧拉公式。
010203如何求函数的泰勒级数;泰勒级数收敛于函数的条件;函数展开成泰勒级数的方法.四、小结
求的麦克劳林级数。思考题010203
练习题
练习题答案
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