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微分学——有限增量

复旦力学

2016年3月15日

1知识要素

1.1基于单参数直线化的函数的有限增量

我们已有一维函数的有限增量

定理1.1(一维函数有限增量).如果f(x)∈C[a,b]，f(x)∈Cp[a,b)，且在(a,b)上存

在p+1阶导数，则有

pkp+1

∑

1dfk1dfp+1

f(b)=f(a)+k=1k!dxk(a)(b−a)+(p+1)!dx(a+θ(b−a))(b−a),θ∈(0,1)

按单参数直线化的思想，可有

定理1.2(函数有限增量).如果f(x)∈R在直线段[a,b]上连续，在[a,b)上存

在p阶沿b−a的方向导数且连续，在(a,b)上存在p+1阶沿b−a的方向导数，则有

pkp+1

∑

1∂fk1∂fp+1

f(b)=f(a)+k!∂ek(a)·|b−a|RM+(p+1)!∂ep+1(a+θ(b−a))·|b−a|RM

k=1

此处θ∈(0,1)。

进一步引入条件，f(x)∈Cp+1(D;R)，[a,b]⊂D，则有

xx

