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必刷小题8解三角形
一、单项选择题
1.(2024·楚雄模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=eq\r(2)b,sinA=eq\f(1,3),则sinB等于()
A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(\r(2),6)D.eq\f(\r(34),6)
答案C
解析因为a=eq\r(2)b,所以eq\f(b,a)=eq\f(\r(2),2).
由正弦定理得eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB),
则sinB=eq\f(bsinA,a)=eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,3)=eq\f(\r(2),6).
2.(2023·沈阳模拟)在△ABC中,若a=bcosC,则△ABC是()
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
答案C
解析由余弦定理得cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab),
将其代入a=bcosC,
得a=b·eq\f(a2+b2-c2,2ab)=eq\f(a2+b2-c2,2a),
∴2a2=a2+b2-c2,
∴a2+c2=b2,即△ABC为直角三角形.
3.(2024·南京模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知9sin2B=4sin2A,cosC=eq\f(1,4),则eq\f(c,a)等于()
A.eq\f(\r(11),4)B.eq\f(\r(10),4)C.eq\f(\r(11),3)D.eq\f(\r(10),3)
答案D
解析∵9sin2B=4sin2A,∴9b2=4a2,即b=eq\f(2a,3),
∵cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)=eq\f(a2+\f(4a2,9)-c2,\f(4a2,3))=eq\f(1,4),
∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2=eq\f(10,9),则eq\f(c,a)=eq\f(\r(10),3).
4.(2023·咸阳模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=60°,b=1,eq\f(b+c,sinB+sinC)=eq\f(2\r(3),3),则△ABC的面积为()
A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)
答案B
解析在△ABC中,由正弦定理得
eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC),
所以eq\f(a,sinA)=eq\f(b+c,sinB+sinC)=eq\f(2\r(3),3),
则a=eq\f(2\r(3),3)sinA=eq\f(2\r(3),3)sin60°=eq\f(2\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)=1,
又b=1,A=60°,
所以△ABC是正三角形,
所以△ABC的面积S△ABC=eq\f(1,2)absin60°=eq\f(\r(3),4).
5.(2023·太原模拟)在△ABC中,A=eq\f(π,4),BD⊥AC,D为垂足,若AC=4BD,则cos∠ABC等于()
A.-eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C.-eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)
答案A
解析在△ABC中,A=eq\f(π,4),BD⊥AC,D为垂足,
又AC=4BD,不妨设BD=t,
则AD=t,AB=eq\r(2)t,AC=4t,CD=3t,BC=eq\r(BD2+CD2)=eq\r(10)t,
则cos∠ABC=eq\f(AB2+BC2-AC2,2×AB×BC)=eq\f(?\r(2)t?2+?\r(10)t?2-?4t?2,2×\r(2)t×\r(10)t)=-eq\f(\r(5),5).
6.(2023·达州模拟)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=15°,∠CBD=30°,CD=10eq\r(2)m,并在C处测得塔顶A的仰角为45°,则塔高AB等于()
A.30eq\r(2)m B.20eq\r(3)m
C.30m D.20m
答案D
解析在△BCD中,∠BCD=15°,∠CBD=30°,CD=10eq\r(2)m,
由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)=eq\f(CB,sin∠CDB),
可得eq\f(10\r(2),sin30°)
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