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高中数论题目讲解及答案
一、选择题（共40分）
1.（5分）下列哪个数是质数？
A.15
B.23
C.36
D.49
答案：B
解析：质数是指只能被1和自身整除的大于1的自然数。15可以被3和5整除，36可以被2、3、4、6、9、12、18整除，49可以被7和7整除，只有23只能被1和23整除，所以23是质数。
2.（5分）下列哪个数是合数？
A.17
B.29
C.4
D.37
答案：C
解析：合数是指除了1和它本身以外还有其他因数的自然数。17、29和37都是质数，只有4可以被1、2和4整除，所以4是合数。
3.（5分）下列哪个数是完全数？
A.6
B.28
C.496
D.8128
答案：A
解析：完全数是指其真因数（除了自身以外的因数）之和等于它本身的数。6的真因数是1、2和3，它们的和是6，所以6是完全数。
4.（5分）下列哪个数是素数？
A.2
B.9
C.25
D.33
答案：A
解析：素数是指只能被1和自身整除的大于1的自然数。2是最小的素数，9可以被3整除，25可以被5整除，33可以被3和11整除，所以只有2是素数。
5.（5分）下列哪个数是回文数？
A.123
B.121
C.456
D.789
答案：B
解析：回文数是指正读和反读都一样的数。123、456和789都不是回文数，只有121正读和反读都一样，所以121是回文数。
6.（5分）下列哪个数是平方数？
A.10
B.25
C.36
D.49
答案：D
解析：平方数是指一个整数的平方。10不是平方数，25是5的平方，36是6的平方，49是7的平方，所以49是平方数。
7.（5分）下列哪个数是立方数？
A.8
B.27
C.64
D.125
答案：B
解析：立方数是指一个整数的立方。8不是立方数，27是3的立方，64是4的立方，125是5的立方，所以27是立方数。
8.（5分）下列哪个数是幂次方数？
A.2
B.8
C.16
D.32
答案：C
解析：幂次方数是指一个整数的幂次方。2不是幂次方数，8是2的3次方，16是2的4次方，32是2的5次方，所以16是幂次方数。
二、填空题（共30分）
1.（5分）一个数如果只有1和它本身两个因数，那么这个数叫做质数。例如，2、3、5、7、11、13、17、19、23、29等都是质数。
2.（5分）一个数如果除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫做合数。例如，4、6、8、9、10、12、14、15、16、18等都是合数。
3.（5分）一个数如果它所有因数（包括1和它本身）的和等于它本身，那么这个数叫做完全数。例如，6、28、496、8128等都是完全数。
4.（5分）一个数如果它所有因数（除了1和它本身）的和等于它本身，那么这个数叫做盈数。例如，12、18、20、24、30等都是盈数。
5.（5分）一个数如果它所有因数（除了1和它本身）的和小于它本身，那么这个数叫做亏数。例如，1、2、3、4、5、7、8、9、10、11等都是亏数。
6.（5分）一个数如果它正读和反读都一样，那么这个数叫做回文数。例如，121、131、141、151、181、191等都是回文数。
7.（5分）一个数如果它是某个整数的平方，那么这个数叫做平方数。例如，1、4、9、16、25、36、49、64、81、100等都是平方数。
8.（5分）一个数如果它是某个整数的立方，那么这个数叫做立方数。例如，1、8、27、64、125、216、343、512、729、1000等都是立方数。
三、简答题（共30分）
1.（10分）请解释什么是质数，并给出一个质数的例子。
答案：质数是指只能被1和自身整除的大于1的自然数。例如，2、3、5、7、11、13、17、19、23、29等都是质数。
2.（10分）请解释什么是合数，并给出一个合数的例子。
答案：合数是指除了1和它本身以外还有其他因数的自然数。例如，4、6、8、9、10、12、14、15、16、18等都是合数。
3.（10分）请解释什么是完全数，并给出一个完全数的例子。
答案：完全数是指其真因数（除了自身以外的因数）之和等于它本身的数。例如，6、28、496、8128等都是完全数。
四、解答题（共50分）
1.（15分）证明2是唯一的偶数质数。
证明：假设存在另一个偶数质数p，那么p可以表示为2k（k为整数）。由于p是偶数，所以2k也是偶数。但是，根据质数的定义，质数只能被1和它本身整除。因此，2k只能被1、2和2k整除，这与质数的定义矛盾。所以，不存在另一个偶数质数，2是唯一的偶数质数。
2.（15分）证明平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6或9。
证明：设一个平方数为n^2，其中n为整数。我们可以将n分为以下几类：
1)n以0
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