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五年级奥数之容斥原理及公告的证明NabNbNabcNcaNbcNcABCNa容斥问题某班50名学生前往上海世博会参观丹麦、法国、西班牙三个场馆。参观丹麦、法国、西班牙场馆的人数分别是28、24、18人，其中既参观丹麦馆又参观法国馆的10人，既参观丹麦馆又参观西班牙馆的8人，既参观法国馆又参观西班牙馆的5人。已知全班每名学生都至少参观了三个场馆中的一个，那么，三个场馆都参观的学生有多少人？容斥原理是国家公务员考试的壹种难點，诸多考生都覺得無從下手，其实，容斥原理关键内容就是两個公式，只要把這两個公式灵活掌握就可全面应對此类題型。1、两個集合的容斥关系公式：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，或：N=Na+Nb-Nab。2、三個集合的容斥关系公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|，或：N=Na+Nb+Nc-Nab-Nbc-Nca+Nabc。
定理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|或：N=(Na+Nb+Nc)-(Nab+Nbc+Nca)+Nabc证明：设Na、Nb、Nc分别表达图A、B、C覆盖的面积；Nab、Nbc、Nca分别表达图A和B、B和C、C和A共同覆盖的面积；Nabc表达图A、B、C共同覆盖的面积。再设N1、N2、N3、N4、N5、N6、N7分别表达7個互不覆盖区域的面积；N表达7個互不覆盖区域的面积总和。则：N1=Na-Nab-Nca+Nabc，N2=Nb-Nab-Nbc+Nabc，N3=Nc-Nbc-Nca+NabcN4=Nab-NabcN5=Nbc-NabcN6=Nca-NabcN7=NabcN=(N1+N2+N3)+(N4+N5+N6)+N7=(Na+Nb+Nc-2Nab-2Nbc-2Nca+3Nabc)+(Nab+Nbc+Nca-3Nabc)+Nabc=Na+Nb+Nc-Nab-Nbc-Nca+NabcNabNbNabcNcaNbcNcABCNaN1N4N2N7N3N5N6四年级奥数之容斥原理及公告的证明
Nab=10人Nb=24人NabcNca=5人Nbc=8人Nc=18人丹麦馆法国馆西班牙馆Na=28人題目：某班50名學生前去上海世博會参观丹麦、法国、西班牙三個場馆。参观丹麦、法国、西班牙場馆的人数分别是28、24、18人，其中既参观丹麦馆又参观法国馆的10人，既参观丹麦馆又参观西班牙馆的8人，既参观法国馆又参观西班牙馆的5人。已知全班每名學生都至少参观了三個場馆中的壹种，那么，三個場馆都参观的學生有多少人？解：参观了丹麦馆或法国馆或西班牙馆的人数為50人（即班级人数50人，N=50人）28+24+18=70人，10+8+5=23人，70-23=47人，50-47=3人（即Nabc=3）假如直接套用左边的公式，就是：Nabc=N-(Na+Nb+Nc)+(Nab+Nbc+Nca)=50-(28+24+18)+(10+8+5)=3(人)答：三個場馆都参观的有3人。四年级奥数之容斥原理及公告的证明定理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|或：N=(Na+Nb+Nc)-(Nab+Nbc+Nca)+Nabc
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